Lógica (algebra)

INTRODUCCION AL ALGEBRA.

1- LOGICA SIMBOLICA

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

LOGICA SIMBOLICA: resumen.

Símbolos:
∼
∧
∨
⇒
⇔
∃

Se lee:
“No”
“y”
“o”
“Implica”
“Equivale”
“Existe”

Uso
∼p
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
∃ x : P( x )

Denominación:
Negación Lógica
Conjunción
Disyunción Inclusiva
Implicación
Equivalencia
CuantificadorExistencial

∀

“Para todo”

∀x:[P(x)⇒Q(x)]

Cuantificador Universal

Tenemos que comenzar recordando al menos, el significado de cada símbolo, o sea, las dos
primeras columnas.
La última columna nos suministra la denominación “académica” del símbolo. Como quien dice “su
nombre elegante”. Aunque no le prestemos atención es probable que al final la terminemos
recordando.
Aunque no esimprescindible nos resultará de mucha ayuda llegar a entender la tercer columna de la
tabla (uso). Lo intentaremos. Comenzaremos con un análisis reducido, luego lo ampliaremos.
Las letras “p” y “q” que figuran en dicha tercer columna representan “afirmaciones”, es decir, frases
que aseguran algo. (el nombre correcto es: “proposiciones”)
Ejemplos de posibles “afirmaciones que podrían representar“p” o “q”:
p = la manzana es roja q = la manzana es redonda
Si tal fuera el caso entonces sería:

∼ p = No la manzana es redonda = La manzana no es redonda
p ∧ q = La manzana es roja ∧ la manzana es redonda
= La manzana es roja y la manzana es redonda
= La manzana es roja y redonda
Ejercicios:
a) Tomando como p y q las mismas proposiciones anteriores traducir:

p∨q ; p⇒q ; p⇔q

b) Si lossignificados de “p” y “q” fueran: p = camino
Traducir: ∼ p ; p ∧ q ; p ∨ q ; p ⇒ q ;

q = canto
p⇔q

c) Hacer lo mismo si los significados de “p” y “q” fueran:
p = Juan es hijo de María q = Juan es hermano de Pedro
d)

p = Llueve

q = Hay nubes

e)

p = Estudio

q = Apruebo

Utilizar los símbolos que hemos visto nos puede parecer una complicación. Es cierto que en lugar
deemplearlos podríamos usar palabras. Pero los símbolos tienen la ventaja de poder escribir todo
mucho más sencillo, más sintético. Y abarcar más cosas en su solo golpe de vista. En realidad las
matemáticas son una forma de decir con pocos símbolos lo que nos llevaría muchas palabras. Y
sabemos que cuando hay muchas palabras las ideas se suelen volver oscuras y confusas.
Son necesarias un montón deaclaraciones: por ejemplo que en el lenguaje cotidiano hay muchas
formas de decir lo mismo. Por tal motivo analizaremos a continuación más en detalle cada uno de
los símbolos y sus usos.

Proposiciones:
Muchas veces en la vida cotidiana hacemos afirmaciones simples:
Ejemplo:
“La remera de Vanesa es amarilla”.
A este tipo de afirmaciones simples las llamaremos: proposiciones.
Por comodidadlas simbolizaremos con una letra.
p = “La remera de Vanesa es amarilla”.
Otros ejemplos de proposiciones:
q = “Camino”

( Es una abreviatura de: “Yo camino” )

r = “Juan es el padre de Pedro”
s = “Existen manzanas verdes”
t = “Todo cambia”
u = “El agua de mar tiene 3 % de sales”
Todas las proposiciones vistas son simples. Pero a partir de Proposiciones Simples se pueden
elaborar otrasque consideraremos Proposiciones Compuestas. Son aquellas en la que se unen o
modifican proposiciones simples mediante Conectores. Comencemos con el caso más sencillo:

Negación Lógica:
A partir de una afirmación simple (proposición) se puede se puede generar una nueva proposición
realizando la afirmación contraria. Esta nueva afirmación (que no la consideraremos simple) la
llamaremosnegación lógica:
no p = no “La remera de Vanesa es verde”
Este " no " lo simbolizaremos con: ~ (al que consideraremos un Conector u Operador Lógico):
~ p = La remera de Vanesa no es verde.
Otros ejemplos:
p: la remera de Solange es verde
~ p: no la remera de Solange es verde = La remera de Solange no es verde.
q: llueve
~ q : no llueve

Conjunción:
Hay otras formas de generar...