Algebra de boole aplicada a circuitos lógicos digitales

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Trabajo de Investigación Algebra de Boole aplicada a circuitos lógicos digitales

James Fernández Chaipul

Algebra de Boole.
Definición: Un conjunto B dotado con dos operaciones algebraicas más (+) y por (.) es un álgebra de Boole, sí y sólo sí se verifican los postulados:
1º  Las operaciones + y . son conmutativas.
2º  Existen en B dos elementos distintos representados por lossímbolos 0 y 1, respectivamente, tal que :
a + 0 = 0 + a = a  Para todo elemento a que pertenece a B 
a . 1 = 1 . a = a    Para todo elemento a que pertenece a B
El símbolo 0 es el elemento identidad para la operación " + "  y 
el símbolo 1 es el elemento identidad para la operación " . "
3º  Cada operación es distributiva para la otra, esto es:
a + (b . c) = (a + b) . (a + c) 
a . (b + c) =(a . b) + (a . c)
4º  Para cada elemento de B, por ejemplo el elemento a, existe un elemento a' también perteneciente a B tal que:
a + a' = 1 
a . a' = 0
Ejemplos: 
Sea el conjunto B = { 0,1 }, y las dos operaciones + y . definidas
0 +  0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 1 | 0 .  0 = 0 
0 . 1 = 0 
1 . 0 = 0 
1 . 1 = 1 |
 
Interruptor abierto 
  equivale a nuestro 0 lógico 
Cerrado 
  equivale a nuestro 1 lógico 
La combinación 
   es equivalente a 
es decir : dos interruptores abiertos puestos en serie equivale a un solo interruptor abierto
es equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que  0 . 0 = 0
La combinación 
  es equivalente a 
es decir : un interruptor abierto en serie con un interruptor cerrado equivale a un  interruptor abierto
es equivalente a decir ennuestra álgebra de Boole que  0 . 1 = 0 
por la misma razón podemos decir que 1 . 0 = 0
 La combinación 
  es equivalente a 
es decir : un interruptor cerrado en serie con otro cerrado equivale a un  solo interruptor cerrado
es equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que  1. 1 = 1
La combinación 
   es equivalente a 
es decir : dos interruptores abiertos puestos en paraleloequivale a un solo interruptor abierto
es equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que  0 + 0 = 0
La combinación 
   es equivalente a 
es decir : un interruptor abierto en paralelo con un interruptor cerrado equivale a un  interruptor cerrado
es equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que  1 + 0 = 0 
por la misma razón podemos decir que 0 + 1 = 1
La combinación 
   es equivalentea 
es decir : un interruptor cerrado en paralelo con un interruptor cerrado equivale a un  interruptor cerrado
es equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que  1 + 1 = 1
Términos canónicos
Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma en el cual aparecen todas las variables de que depende esa función. A los términos productos se les llama productos canónicos y alos términos sumas, sumas canónicas.
Formas canónicas
Cuando una función se expresa como suma de productos canónicos o como producto de sumas canónicas, se dice que dicha función se en cuentra expresada en su forma canónica.
Formas equivalentes
Dos expresiones booleanas, F1 y F2, son equivalentes, es decir F1=F2, sí y sólo sí describen la misma función de conmutación. Comprobaremos que formasbooleanas diferentes pero equivalentes, conducirán a circuitos de conmutación distintos aunque realicen la misma función.
Tabla de verdad
La tabla de verdad de una función lógica es una forma de representación de la misma, en la que se indica el valor 0 ó 1 que toma la función para cada una de las combinaciones de valores de las variables de dicha función
Ejemplo:
    a b c    F 
0   0 00    0 
1   0 0 1    1 
2   0 1 0    1 
3   0 1 1    0 
4   1 0 0    1 
5   1 0 1    1 
6   1 1 0    1 
7   1 1 1    1
En la columna de la izquierda se han ido numerando las combinaciones posibles de valores que siempre es igual a 2 elevado al número de variables (n), es decir 2n, en nuestro caso 23=8.
De la tabla de verdad de una función lógica, es fácil deducir las formas canónicas de...
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