Lógica - Conjuntos y Relaciones

Cap´ıtulo 1
L´
ogica. Conjuntos. Relaciones.
1.1.

L´
ogica proposicional.
Escucha, ser´
as sabio. El comienzo de la sabidur´ıa es el silencio.
Pit´agoras.

No ser´ıa muy desacertado pensar que algunas de la siguientes oraciones fueron pronunciadas por alg´
un alumno durante los u
´ltimos d´ıas.
Si el profesor no viene, me voy al cine
Tengo que estudiar y limpiar el cuarto, ¡Notengo tiempo para todo !
Si estudio, entonces no limpio y si limpio, entonces no estudio
Muestro prop´osito es analizarlas desde el punto de vista de la l´ogica. Comenzaremos
definiendo algunos conceptos necesarios.
Definici´
on 1.1.1 Una proposici´
on es una afirmaci´on de la cual se puede decir que es
verdadera o falsa. En general las proposiciones se denotan con las letras p, q, r, s, etc.Las siguientes son ejemplos de proposiciones:
p = la semana tiene 7 d´ıas.
q = los a´ngulos interiores de un cuadril´atero suman 360 grados.
r = la tierra tiene dos sat´elites naturales.
Es claro que p y q son proposiciones verdaderas y r es falsa.
Es importante que intentes hacer el siguiente ejercicio.
Ejercicio. 1.1.2 Dar dos ejemplos de proposiciones verdaderas y dos ejemplos deproposiciones falsas.
Hay en el lenguaje cotidiano locuciones que no son proposiciones, algunos ejemplos de
ellas son las siguientes:

1

´
CAP´ITULO 1. LOGICA.
CONJUNTOS. RELACIONES.

2

¿C´omo te fu´e en el parcial?
¿Est´as enojado?
¡Camin´a mas r´apido! ¡Oh, que bello!

1.1.1.

Conectivos L´
ogicos.

Conjunci´
on y Disyunci´
on.
Analicemos la proposici´on r dada acontinuaci´on:
r = La forma de la tierra es Geoide y gira alrededor del sol.
r est´a compuesta por dos proposiciones unidas con el conectivo ✭✭y✮✮, las dos proposiciones
componentes son:
p = La forma de la tierra es Geoide. q = La tierra gira alrededor del sol.
Es posible a partir de proposiciones dadas obtener nuevas proposiciones uniendo las dadas
mediante conectivos l´ogicos. Al unir dos proposicionesmediante un conectivo l´ogico obtenemos una proposici´
on compuesta. Los conectivos l´ogicos que estudiaremos en este curso
son:
✭✭y✮✮, llamado conjunci´on, que se representa mediante el s´ımbolo ∧.
✭✭o✮✮, llamado disyunci´on, que se representa mediante el s´ımbolo ∨.
✭✭implicaci´on✮✮ que se representa mediante el s´ımbolo ⇒.
Es claro que la proposici´on r = La forma de la tierra es Geoidey gira alrededor del sol, es
verdadera pues ambas proposiciones componentes p y q son verdaderas. Analicemos otro
ejemplo.
Sean p = ayer a la tarde estudi´e ´algebra y q = ayer a la tarde viaj´e a la luna. Formemos
la proposici´on r = p ∧ q que es
r = ayer a la tarde estudi´e a´lgebra y fui a la luna.
Es claro que la proposici´on r es falsa y esto se debe a que una de las proposicionescomponentes, en este caso la proposici´on q, es falsa. Por lo tanto podemos afirmar que
para que una proposici´on r formada por r = p∧q sea verdadera deben ser verdaderas tanto
p como q. Analicemos los valores de verdad que toma la conjunci´on p ∧ q de acuerdo a los
valores de verdad de p y de q. La pregunta inmediata es ¿cu´antas posibles combinaciones
tenemos para p y q? p puede tomar dosvalores de verdad, estos son verdadero (V) o
falso (F), y por cada uno de ellos lo mismo ocurre con q, por lo que tenemos cuatro
combinaciones posibles. Colocamos los mismos en cuadro 1.1 que denominaremos tabla
de verdad de la conjunci´
on.

´
1.1. LOGICA
PROPOSICIONAL.

3
p q
V V
V F
F V
F F

p∧q
V
F
F
F

Cuadro 1.1: Tabla de verdad para p ∧ q
Resumiendo podemos decir que laconjunci´on es verdadera solo cuando ambas proposiciones componentes lo son.
Ejercicio. 1.1.3 Expresar las siguientes proposiciones en forma simb´olica y determinar
el valor de verdad del resultado.
a. La Tierra tiene un sat´elite natural y J´
upiter es gaseoso.
b. Mozart naci´o en Austria y compuso la ´opera Las bodas de F´ıgaro.
c. Mozart compuso la ´opera Don Giovanni y se estren´o en...