Conjunto, relaciones y funciones de lógica

CONJUNTO, RELACIONES,
FUNCIONES Y LÓGICA
Fundamentos de la Matemática − 2010

Introducción
“Cuando decimos: ‘un elemento pertenece a un conjunto’, estamos utilizando nada menos que tres
conceptos primitivos básicos de nuestra teoría: elemento, conjunto y pertenencia.”1
Para indicar que b es un elemento de un conjunto A, se escribe b ∈A, que se lee «b pertenece a
A». Si por el contrario bno es elemento de A, escribimos b ∉A, que se lee «b no pertenece a A».
Si bien conjunto es un concepto primitivo, cada conjunto particular se puede definir por
extensión (nombrando cada uno de sus elementos) o por comprensión (dando una propiedad que
cumplen todos los elementos del conjunto y sólo ellos).
Actividades
1) ¿Puede escribirse cualquier conjunto por extensión? En caso negativo darun ejemplo.
2) Sea A = {x / x ∈ », 3 < x ≤ 10}
i) Escribe el conjunto A por extensión.
ii) Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
9
4∉A
∈A
1∈A
2
3,5 ∈ A
10 ∈ A
3∈A
3) Escribe por comprensión los siguientes conjuntos:
i) A = {Brasil, Argentina}
ii) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

iii) C = {

2 ,− 2 }

4) Escribe por extensión los siguientes conjuntos:
i) D ={x / x es componente químico del agua}
ii) E = {x / x = 3n, n ∈ », 5 ≤ n ≤ 8}

1
iii) F = {x ∈ » / (x 2 − )(x 2 − 2) = 0 }
9

Igualdad de conjuntos
Definición

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Simbólicamente: A = B ⇔ ∀x, ((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A))

1

Osin, L. (1975). Introducción al análisis matemático. Buenos Aires: Editorial Kapelusz. (p. 3)Profa. Mónica Olave – Profa. Cristina Ochoviet – Prof. Gustavo Franco
También colaboró en la elaboración de este material: Profa. Ana Tosetti

Conjunto, Relaciones, Funciones y Lógica
Actividad

Completa con:

≠o=

{2, −1, 5} ...... {x ∈ » / (x + 1)(x − 2)(x − 5) = 0}
[2, 3] ....... {x ∈ » / 2 < x ≤ 3}
{x ∈ » / (x −

1
1
)(x + 9) ≤ 0} ....... [−9, ]
2
2

«A = B» (1) y «∀x, ((x ∈A → x ∈ B)∧ (x ∈ B → x ∈ A))» (2), son lo que se denominan

proposiciones. Es decir, oraciones que son verdaderas (V) o falsas (F), pero no ambas cosas a la
vez. Si una proposición es verdadera, diremos que su valor de verdad es V, y si es falsa diremos
que su valor de verdad es F.
Las proposiciones pueden clasificarse en simples o compuestas. Las proposiciones compuestas
están formadas porproposiciones simples. Por ejemplo, una proposición simple sería “Pablo lee el
Quijote” y en cambio una proposición compuesta podría ser “Pablo lee el Quijote y Cien años de
soledad”. A las proposiciones las representaremos utilizando letras minúsculas de nuestro
alfabeto: p, q, r,…
Las proposiciones (1) y (2) se llaman equivalentes. Dos proposiciones son equivalentes (y lo
notaremos con elsímbolo “⇔”), cuando tienen los mismos valores de verdad.
En la proposición (2) aparece el llamado cuantificador universal (∀), y las operaciones básicas:

conjunción (∧) e implicación (→). Las definiciones de estas operaciones vienen dadas por las
siguientes tablas, que nos permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta
en función de los valores de verdad de lasproposiciones simples que la forman:

p

q

p∧q

p

q

p→q

V
F
V
F

V
V
F
F

V
F
F
F

V
F
V
F

V
V
F
F

V
V
F
V

Si p y q son dos proposiciones, a la proposición p ∧ q, que se lee «p y q», se la denomina conjunción
lógica de p y q. La proposición p ∧ q es verdadera únicamente cuando p y q son verdaderas, lo que

está de acuerdo con el uso corriente de laconjunción «y»2.
Si p y q son dos proposiciones, a la proposición p → q, que se lee «p implica q», se la denomina
condicional o implicación lógica de las proposiciones p y q (en ese orden). También se dice que p
es el antecedente del condicional y que q, es el consecuente.
2

Aunque el uso coloquial de la conjunción «y», no siempre es claro y libre de ambigüedades. Por más
información al...