Lógica Matemática, Conjuntos Y Relaciones

Lógica Matemática, Conjuntos y Relaciones

Introducción al Cálculo Proposicional

La lógica desempeña un papel muy importante en muchos campos, como las matemáticas y la computación. La lógica es esencial para construir y probar programas de computadora. Sin embargo nuestro razonamiento a menudo es deficiente y puede dar lugar a errores, por tanto es importante identificar las leyesfundamentales de las derivaciones lógicas.

Una PROPOSICIÓN es una afirmación que se puede calificar, sin ninguna ambigüedad, como falsa o como verdadera.

Por ejemplo:

1) hoy es lunes
2) 2 es mayor que 3
3) 2+4=3
4) México es una ciudad
5) José es alto y Jaime también

Al valor que toma una proposición (verdadero, falso) se le llama VALOR DE VERDAD de la proposición.

Las proposicionespueden ser representadas con VARIABLES PROPOSICIONALES, P,Q, R….

Solo se tienen dos CONSTANTES PROPOSICIONALES verdadero (V) y falso (F)

Las proposiciones pueden estar formadas por una o más proposiciones unidas por algún CONECTIVO LÓGICO.

Una proposición que consta de una única variable proposicional o una única constante proposicional se le denomina una PROPOSICIÓN ATÓMICA.

Es decir unaproposición atómica es una proposición que no puede ser dividida en más proposiciones. A todas las proposiciones no atómicas se les denomina proposiciones compuestas. Todas las composiciones compuestas tienen por lo menos un conectivo lógico.

Una tabla de verdad de una proposición da los valores de verdad para todas las posibles asignaciones.

Conectivos Lógicos

Es posible formarproposiciones compuestas a partir de otras proposiciones utilizando los conectivos lógicos. Los CONECTIVOS LÓGICOS son palabras que se utilizan para unir dos o más proposiciones, excepto la negación (palabra no) la cual actúa sobre una sola proposición. Los principales conectivos lógicos son: Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

Negación
El conectivo más sencillo es lanegación que se define como sigue: Sea P una proposición. La proposición compuesta ¬P, que se lee como “no P”, es la proposición que es verdadera si P es falsa y es falsa si P es verdadera. También se utiliza la notación ~P, P. La tabla de verdad para la negación es la siguiente:

P | ¬P |
V | F |
F | V |

Ejemplo:
P: Hoy es lunes
¬P: Hoy no es lunes

Conjunción

Sean P y Q dosproposiciones. Entonces la conjunción de P y Q que se denota por P ∧ Q y que se lee como “ P y Q”, es verdadera si y solo si tanto P como Q son verdaderas. La tabla de verdad correspondiente a la conjunción es la siguiente:

P | Q | P ∧ Q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |

Ejemplo:
P: Hoy es lunes
Q: Está lloviendo
P ^ Q: Hoy es lunes y está lloviendo

Disyunción
Sean P yQ dos proposiciones. Entonces la disyunción de P y Q que se denota por P ∨ Q y que se lee como “ P o Q”, es falsa si tanto P como Q son falsas y es verdadera si P es verdadera o Q es verdadera o ambas son verdaderas. La tabla de verdad correspondiente a la disyunción es la siguiente:

P | Q | P ∨ Q |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |

Ejemplo:
P: Hoy es lunes
Q: Estalloviendo
P ∨ Q: Hoy es lunes ó esta lloviendo

Condicional
Sean P y Q dos proposiciones. Entonces la condicional de P y Q que se denota por P → Q y que se lee como “si P entonces Q”, es falsa si P es verdadera y Q es falsa y es verdadera en los demás casos. La tabla de verdad correspondiente a la condicional es la siguiente:

P | Q | P → Q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F| V |

Ejemplo:
P: Hoy es lunes
Q: Esta lloviendo
P → Q: Si hoy es lunes entonces esta lloviendo

Bicondicional
Sean P y Q dos proposiciones. Entonces la bicondicional de P y Q que se denota por P ↔ Q y que se lee como “ P si y solo si Q”, es verdadera si P y Q tienen el mismo valor de verdad y falsa en caso contrario. La tabla de verdad correspondiente a la bicondicional es la...