LÓGICA PREPOSICIONAL

Conectiva Expresión en el
lenguaje natural Ejemplo Símbolo en
este artículo Símbolos
alternativos
Negación no No está lloviendo.


Conjunción
y Está lloviendo y está nublado.
.

Disyunción
o Está lloviendo o está soleado.

Condicional material
si... entonces Si está soleado, entonces es de día.


Bicondicional
si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubesvisibles.


Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado.

Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado.


Lenguaje formal

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y lasimbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario.

Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable p o q, o r, o s.

Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen alas variables. Estos símbolos constantes se llaman funtores, juntores, conectivas u operadores lógicos.

Cuando el funtor afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador ( \bar{ } ) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, \bar{ p} , «no p». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los funtores más importantes son:[\land ] Conjuntor , «y» en el lenguaje natural.

[\lor ] Disyuntor , «o».

[\to ] Condicional, «si... entonces».

[\leftrightarrow ] Bicondiconal, «si y sólo si... entonces».

[ \underline{\lor }] Disyunción exclusiva, «o... o», una proposición excluye a la otra.


El negador además de ser un funtor monádico —es decir que afecta a una variable—, puede serpoliádico, cuando afecta a más de una variable o a una expresión entera.

Hay que tener siempre en cuenta, que las variables simbolizan oraciones enteras y no sólo palabras o nombres:

Ejemplos de simbolización de oraciones, del lenguaje natural al lenguaje formal:

La conjunción: [ p \land q ] «Juan juega y Pedro estudia».
La disyunción: [ p \lor q ] «Llueve o nieva».
Elcondicional: [ p \to q ] «Si estudias entonces aprendes».
El bicondicional: [ p \leftrightarrow q ] «Si y sólo si tienes dieciocho años puedes votar».
La disyunción exclusiva: [ p \underline{\lor} q ] «O te quedas o te vas».
La negación: [ \bar{p} ] «Manolo no juega limpio».

A veces el negador puede afectar a más de una variable o a la conjunción, o disyunción de ambas:

[\overline{p\lor q} ] «Es falso que estudies o trabajes».
Valores de verdad

En la gramática estamos acostumbrados a ver que las oraciones pueden ser verdaderas o falsas, según se ajusten o no a la realidad que expresan, por ejemplo si llueve y digo que “hace sol”, esa oración es falsa. En cambio la lógica considera que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas con independencia de que en larealidad lo sean; por eso habla de valores de verdad.

Una proposición [ p ] puede ser indistintamente verdadera o falsa; cuando es verdadera, le damos valor 1, cuando es falsa, le adjudicamos el valor 0. Según esto la variable p, puede tener los siguientes valores:
p
1 1 0 0
1 0 1 0


Cuando p siempre tiene valor 1, hablamos de tautología de p. Cuando siempre es falsa, contradicción de p. Si pes primero verdadera y luego falsa, afirmación de p. Cuando es primero falsa y luego verdadera, negación de p.


Si consideramos los valores de dos variables conjuntamente, las posibilidades aumentan según el gráfico siguiente:


p\, q
1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0 1 1...