Lógica Proporcional

.MATEMATICA Y LOGICA
Lógica: La Lógica es la ciencia que estudia los principios y métodos para distinguir un razonamiento correcto de otro incorrecto. Tradicionalmente ha sido considerada como una parte de la Filosofía, pero en su desarrollo histórico, a partir del final del siglo XIX, y su formalización simbólica ha mostrado su íntima relación con la Matemática, de tal forma que algunos laconsideran como Lógica Matemática.
La parte de la Lógica que se va a estudiar es la Lógica Proposicional, ella estudia las proposiciones y la inferencia
Enunciado: Se denomina enunciado a toda frase u oración.
Ejemplos:
1) Lima es la capital del Perú
2) x+5>8
3) Compra cinco plumones azules y dos rojos
Proposición: Es un enunciado que tiene la propiedad de ser falso o verdadero,pero no ambos a la vez.
Ejemplos:
1) 6 es un numero primo
2) Gabriel García Márquez escribió “Cien años de soledad”
3) 1 es un numero entero, pero 2 no lo es.
Enunciado abierto: Son expresiones que contienen una o más variables.
Ejemplos:
1) x+3>7
2) x2<4
Los enunciados abiertos no son proposiciones, pero pueden convertirse en proposiciones de dos maneras:
a)Dando valores a las variables. Por ejm. Si en 1) hacemos x=2, se obtiene 5>7, que es una proposición falsa.
b) Empleando cuantificadores. Hay dos tipos de cuantificadores: Cuantificador existencial, ∃ se lee “existe”; Cuantificador universal, ∀ se lee “para todo”. Por ejm. Si empleamos cuantificadores en 1)
∃x∈Z/ x+3>7, se obtiene una proposición que es verdadera.
∀x∈Z, x+3>7, seobtiene una proposición que es falsa.
Términos de Enlace o Conectivos Lógicos: Son expresiones que se utilizan para unir proposiciones y obtener de esta manera otras proposiciones más complejas.
Entre ellos tenemos:
Termino de enlace | Símbolo |
no | ~ |
y | ∧ |
O (inclusivo) | ∨ |
O (exclusivo) | ∨ ; ∆ |
Si y solo si | ↔ |
Si …. entonces …. | → |
Nota:
~ es un “seudo”término de enlace, ya que puede ser aplicado a una sola proposición
Clases de Proposiciones:
Simples o Atómicas: Son aquellas que contienen un solo sujeto y un solo predicado. También se dice que son aquellas que no contienen términos de enlace.
Ejemplos:
1) La química es mi asignatura favorita.
2) 3+8>11
Una proposición atómica se simboliza por medio de una letra minúscula.Ejemplo: Si hacemos
p:La quimica es mi asignatura favorita, entonces p esta representando a la proposición "La quimica es mi asignatura favorita"
q:3+8>11, entonces q esta representando a la proposición "3+8>11"
Compuestas o Moleculares: Si las proposiciones simples p1, p2, ⋯, pn se combinan con términos de enlace, se forma una nueva proposición P a la cual llamaremos: proposición compuesta.También podemos decir que una proposición compuesta es aquella que contiene más de un sujeto o predicado.
Ejemplos:
1) El es inteligente o estudia todos los días
Para simbolizar hacemos, p:El es inteligente q:El estudia todos los dias.
Simbolizando, p∨q
2) Si la figura es un triángulo entonces tiene 3 lados.
Para simbolizar hacemos, p:la figura es un trianguo.q:la figura tiene tres lados
Simbolizando, p→q
Jerarquía de los términos de enlace:
La jerarquía de los términos de enlace se refiere a la potencia de cada uno de ellos. Se considera que ~ es el más débil; ∧, ∨, ∨ son de igual potencia, pero más potentes que ~; ↔ es más potente que los anteriores, y → es el más potente de todos. Sin embargo, se puede hacer que un determinado conectivosea más potente que los demás utilizando, de manera conveniente, los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves).
Así, en la proposición: p∨q→r el término de enlace dominante es "→" (si⋯entonces⋯). Si se quiere que el termino de enlace dominante sea "∨" (o), escribiremos p∨(q→r).
De acuerdo al término de enlace dominante las proposiciones moleculares toman los siguientes...