Logica proporcional

Lógica Proposicional y Teoría de Conjuntos
Curso 2011-2012

1.

Rudimentos de Lógica

1.1. El método axiomático
Matemáticas es el estudio de las relaciones entre ciertos objetos ideales como números, funciones y figuras geométricas. Estos objetos no existen en el mundo real sino que son modelos abstractos de situaciones físicas. Para que un sistema matemático sirva como modelo de larealidad debemos tener en principio un método para reconocer enunciados verdaderos, aunque en la práctica alguno puede ser difícil de demostrar. Cuando los objetos de estudio nos son intuitivamente familiares (como los números enteros), tomamos como axiomas ciertas propiedades intuitivamente verdaderas e intentamos deducir a partir de ellas todas las restantes propiedades del sistema. Una vez elegidoslos axiomas, podemos olvidar la interpretación intuitiva y vemos a nuestros objetos como entidades abstractas sujetas a los axiomas dados. Cuando vayamos a aplicar nuestro sistema a un caso concreto, debemos buscar una interpretación para cada noción introducida y verificar que en esta interpretación todos los axiomas son verdad. Entonces podemos concluir que todos los enunciados derivados de losaxiomas también son ciertos. Esta consideración subraya la necesidad de mantener el sistema de axiomas lo mas pequeño posible. Dos ventajas de este método axiomático es que podemos examinar el efecto sobre nuestro sistema de variar los axiomas y que las demostraciones son mas trasparentes cuanto mas abstracto es el sistema. Por otra parte cuesta algún tiempo familiarizarse con las nocionesabstractas. En esto puede ayudar el modelo mas o menos concreto en que se basa nuestro sistema, aunque no es estrictamente necesario y ciertamente no forma parte de la teoría. 1

Estudiar estas nociones abstractas es como aprender un idioma nuevo. Pero hay un aspecto en el que este proceso difiere de aprender un lenguaje: Debemos razonar sobre los nuevos conceptos y esto requiere atención cuidadosa a lainterrelación lógica de los enunciados. Naturalmente es cierto que aún en la vida cotidiana podemos despreciar la lógica sólo bajo nuestra responsabilidad, pero la evidencia patente de lo absurdo de las conclusiones normalmente nos fuerza a abandonar una línea falsa de razonamiento. Por contra cuando seguimos una línea abstracta de pensamiento sobre conceptos no familiares, podemos alcanzar porrazonamiento lógico conclusiones que no podemos tamizar por el sentido común. Por tanto es importante estar totalmente familiarizado con las reglas lógicas que necesitamos y ser conscientes de que estas reglas pueden aplicarse sin mirar el significado actual de los enunciados a los que las aplicamos. Por esta razón empezamos describiendo brevemente algunos conceptos y notaciones de la lógica.

1.2.Proposiciones

Para nuestro propósito podemos suponer que cada proposición es o verdadera o falsa. Usamos “V” para verdadero y “F” para falso. El correspondiente valor V o F se llama el valor de verdad de la proposición. La Lógica Proposicional describe las formas en que podemos combinar enunciados (también llamados proposiciones) verdaderos para producir otros enunciados verdaderos.Usualmente se consideran cinco operaciones principales de ese tipo (llamados conectivos lógicos), aunque técnicamente podemos derivarlas todas de una o dos de ellas. Estas operaciones son: Sean A y B dos enunciados (no necesariamente distintos). Definimos la expresión “A y B” también escrito A ∧ B, y llamada la conjunción de A y B mediante una tabla de verdad V V F F A B V F V F A∧B V F F F Esta tablamuestra que A∧B es verdad cuando A y B son ambas verdaderas y es falso en el resto de los casos. Una segunda forma en que podemos combinar proposiciones es utilizando la disjunción “A o B” que también se escribe como “A ∨ B”. Su tabla de verdad es: A V V F F B V F V F A∨B V V V F 2

Esto quiere decir que A ∨ B es verdad si lo es A o B o ambas. A partir de cualquier proposición podemos formar su...