Lógica Proposicional

Lógica Proposicional


Proposición
Una proposición es todo enunciado al que se le puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que son:


VERDADERO (V) o FALSO (F)

Por lo general, las proposiciones se representan con las letras minúsculas del alfabeto, desde la letra p en adelante, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.

Ejemplo
a) La expresión 15 +5 = 21 es una proposición que se puede indicar brevemente de la forma
p: 15 + 5 = 21
cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica mediante
V(p) = F

b) Sea la proposición
q: Santa Fe es una provincia argentina V(q) = V

c) Sea la proposición
r: el número 15 es divisible por 3 V(r) = V





Funciones Proposiciones



Si en la proposición "cinco es mayorque tres" (en símbolos es 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número real cualquiera, entonces el enunciado x > 3 se denomina función proposicional y se anota p(x) o p(x).

Una función proposicional en una variable o indeterminada x es un enunciado en el queaparece x como sujeto y que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable.

Ejemplo
Sea la función proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad: p(4) = V y p(2) = F

Ejemplos
p(x): 2x + 5 > 11. Si x = 4, p(4) = 13 ( 13 > 11 (Verdadero)
q(y): 3y + 7 = 11. Si y =5, q(5) = 22 ( 22 = 16 (Falso)
r(x): 2x + 1 = 5. Si x = 2, r(2) = 5 ( 5 = 5 (Verdadero)


Observación
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas, estas últimas constan de dos o más enunciados simples.


Ejemplo
Sea la siguiente proposición r
r: Pitágoras era griego y era geómetra.

p y q

Se observan dos proposiciones simples. Laprimera, p, nos afirma que Pitágoras era griego y la segunda, q, que Pitágoras era geómetra.


Operaciones Lógicas



A partir de proposiciones simples es posible generar otras, las compuestas. Es decir, se puede operar con proposiciones utilizando para ello ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.



|Operación |Símbolo|Significado |
|Negación |~ |“no …..” o “no es cierto que … |
|Conjunción o producto lógico |( |“…. y ….”|
|Disyunción o suma lógica |( |“… o …” (en sentido incluyente) |
|Implicación |( |“… implica …”, o “si… entonces …” |
|Doble implicación|( |“… si y sólo si …” |
|Diferencia simétrica o Disyunción excluyente |∨ |“ … o …” (en sentido excluyente) |



Negación

Dada una proposición p, se denomina negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "nop") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Esta ley que define a la negación lógica o simplemente negación, se presenta generalmente, en forma resumida utilizando una tabla de doble entrada denominada tabla de verdad.
La tabla de verdad de la negación es:

|p |~p |
|V |F |
|F |V |

Ejemplo
Sea la proposición p: 3 > 1, su negación...