La Circunferencia
Páginas: 10 (2268 palabras)
Publicado: 8 de octubre de 2012
Contenido
CÓNICAS: LA CIRCUNFERENCIA 2
24.1 SECCIONES CÓNICAS 2
24.2. DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA 3
24.3. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 3
24.4. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA 3
24.5. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA 4
24.6. HALLAR UNA CIRCUNFERENCIA DADAS CIERTAS CONDICIONES 5
24.7. TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA 7
24.8. APLICACIONES 9
Bibliografía 11Tema # 26
CÓNICAS: LA CIRCUNFERENCIA
24.1 SECCIONES CÓNICAS
Las secciones cónicas son curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano que no pase por el vértice.
Según la inclinación del plano con respecto al eje (recta e), podemos obtener una circunferencia, una parábola, una elipse y una hipérbola.
Circunferencia Parábola
Si el plano quecorta a la superficie cónica es perpendicular al eje, la intersección es una curva llamada circunferencia.
Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz, la intersección es una curva llamada parábola.
Elipse Hipérbola
Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje, la intersección es una curva llamada elipse.
Si el planoque corta a la superficie cónica es paralelo al eje, la intersección es una curva con dos ramas llamada hipérbola.
24.2. DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia,y la distancia constante se llama radio.
UNA CIRCUNFERENCIA, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables.
Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.
GEOMETRÍA ANALÍTICA CH. LEHMANN (Pág. 99)
24.3.ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Centro: Punto fijo de la circunferencia
Radio: Distancia constante
Diámetro: Segmento que pasa por dos puntos opuestos y por el centro de la circunferencia
Cuerda: Segmento comprendido por 2 puntos cualesquiera no consecutivos de la circunferencia
24.4. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia cuyo centro el punto (h,k) y cuyo radioes la constante r tiene por ecuación:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
Demostración:
Por definición de circunferencia (CP) ̅=r
r=√(〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2 ) (Fórmula de distancia entre dos puntos
r^2=(x-h)^2+(y-k)^2 (Ecuación ordinaria o forma ordinaria
En general, designaremos como forma ordinaria a aquella ecuación de una curva que nos permita obtener más rápida y fácilmente sus característicasimportantes, por ejemplo, podemos obtener inmediatamente las coordenadas del centro y el radio
En el caso particular de que el centro se encuentre en el origen c=(0,0);h=0;k=0
La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación
r^2=x^2+y^2
El tipo más simple de la ecuación ordinaria de una curva se denomina frecuentemente ecuación canónica, por lo tanto la ecuación r^2=x^2+y^2es la forma canónica de la ecuación de una circunferencia
24.5. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La ecuación de una circunferencia cualquiera puede escribirse en la forma llamada forma general de la ecuación de la circunferencia
Si desarrollamos la ecuación ordinaria: r^2=(x-h)^2+(y-k)^2
Tenemos: x^2+y^2-2hx-2ky+h^2+k^2-r^2=0
La cual puede escribirse en la forma
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0Donde D=-2h;E=-2k;F=h^2+k^2-r^2
Para averiguar si la Ecuación de la forma general representa un circunferencia pasaremos de ella a la ordinaria aplicando el método de completando cuadrados
Tenemos: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
Ordenando: x^2+Dx+y^2+Ey=-F
Completando cuadrados: (x^2+Dx+D^2/4)+(y^2+Ey+E^2/4)=(D^2+E^2-4F)/4
〖(x+D/2)〗^2+〖(y+E/2)〗^2=(D^2+E^2-4F)/4 (*)
Comparando la ecuación...
CÓNICAS: LA CIRCUNFERENCIA 2
24.1 SECCIONES CÓNICAS 2
24.2. DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA 3
24.3. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 3
24.4. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA 3
24.5. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA 4
24.6. HALLAR UNA CIRCUNFERENCIA DADAS CIERTAS CONDICIONES 5
24.7. TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA 7
24.8. APLICACIONES 9
Bibliografía 11Tema # 26
CÓNICAS: LA CIRCUNFERENCIA
24.1 SECCIONES CÓNICAS
Las secciones cónicas son curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano que no pase por el vértice.
Según la inclinación del plano con respecto al eje (recta e), podemos obtener una circunferencia, una parábola, una elipse y una hipérbola.
Circunferencia Parábola
Si el plano quecorta a la superficie cónica es perpendicular al eje, la intersección es una curva llamada circunferencia.
Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz, la intersección es una curva llamada parábola.
Elipse Hipérbola
Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje, la intersección es una curva llamada elipse.
Si el planoque corta a la superficie cónica es paralelo al eje, la intersección es una curva con dos ramas llamada hipérbola.
24.2. DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia,y la distancia constante se llama radio.
UNA CIRCUNFERENCIA, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables.
Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.
GEOMETRÍA ANALÍTICA CH. LEHMANN (Pág. 99)
24.3.ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Centro: Punto fijo de la circunferencia
Radio: Distancia constante
Diámetro: Segmento que pasa por dos puntos opuestos y por el centro de la circunferencia
Cuerda: Segmento comprendido por 2 puntos cualesquiera no consecutivos de la circunferencia
24.4. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia cuyo centro el punto (h,k) y cuyo radioes la constante r tiene por ecuación:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
Demostración:
Por definición de circunferencia (CP) ̅=r
r=√(〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2 ) (Fórmula de distancia entre dos puntos
r^2=(x-h)^2+(y-k)^2 (Ecuación ordinaria o forma ordinaria
En general, designaremos como forma ordinaria a aquella ecuación de una curva que nos permita obtener más rápida y fácilmente sus característicasimportantes, por ejemplo, podemos obtener inmediatamente las coordenadas del centro y el radio
En el caso particular de que el centro se encuentre en el origen c=(0,0);h=0;k=0
La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación
r^2=x^2+y^2
El tipo más simple de la ecuación ordinaria de una curva se denomina frecuentemente ecuación canónica, por lo tanto la ecuación r^2=x^2+y^2es la forma canónica de la ecuación de una circunferencia
24.5. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La ecuación de una circunferencia cualquiera puede escribirse en la forma llamada forma general de la ecuación de la circunferencia
Si desarrollamos la ecuación ordinaria: r^2=(x-h)^2+(y-k)^2
Tenemos: x^2+y^2-2hx-2ky+h^2+k^2-r^2=0
La cual puede escribirse en la forma
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0Donde D=-2h;E=-2k;F=h^2+k^2-r^2
Para averiguar si la Ecuación de la forma general representa un circunferencia pasaremos de ella a la ordinaria aplicando el método de completando cuadrados
Tenemos: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
Ordenando: x^2+Dx+y^2+Ey=-F
Completando cuadrados: (x^2+Dx+D^2/4)+(y^2+Ey+E^2/4)=(D^2+E^2-4F)/4
〖(x+D/2)〗^2+〖(y+E/2)〗^2=(D^2+E^2-4F)/4 (*)
Comparando la ecuación...
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