La Circunferencia

La circunferencia

1 LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de un punto de la circunferencia al centro se llama radio. ANGULO CENTRAL: Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
AB  AOB es un ángulo central y se dice que intercepta el arco  o que el arcosubtiende al ángulo.  se llama arco menor AB  se llama arco mayor. BCA

Un ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende (en grados) m AOB m  AB POSTULADO DE LA ADICION DE ARCOS.
m  AC m  AB  m BC

TEOREMA Si dos ángulos centrales de la misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes entonces sus arcos interceptados son también son congruentes. HIPOTESIS: AOBCOD
AB TESIS: m  AB 1. m(  AOB) = m   2. m(  COD) = m CD  m CD

1. Por ser un ángulo central 2. Por ser un ángulo central 3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3 Propiedad transitiva

3. m(  AOB) = m(  COD)  AB 4. m  m CD

La circunferencia

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ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION: Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta que tiene sus extremos sobre lacircunferencia. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia TEOREMA La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco interceptado CASO 1. Cuando uno de los lados es un diámetro. HIPOTESIS:  ACB es un ángulo inscrito O centro de la circunferencia CB es un diámetro
m  AB 2

TESIS: m ACB 1. Se traza AO 2. OA OC 3. m( )
m()

4. m(  AOB) = m(arco AB) 5. m(  AOB) = m( ) m( ) 6. m(AOB)
AB 7. m(  )

2m( )
m(  ) AB 2 m( )

1. Construcción 2. Los radios de una circunferencia son congruentes 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes 4. Por ser AOB un ángulo central 5. Un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el. 6.Sustitución de 3 en 5. 7. Sustitución de 4 en 6 y algebra.

2 m( )

CASO 2: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior del ángulo. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O  ACB es un ángulo inscrito.
m  AB 2

TESIS: m ACB

La circunferencia

3 1. Construcción 2. De 1, caso 1. 3. De 1, caso 1
 m( DB) 2

1. Se traza el diámetro CD m(  ) AD 2. m(ACD ) 2  m( DB ) 3.m(DCB ) 2 4. m(ACD) m(DCB ) 5. m(ACB )
m(  ) AB 2
m(  ) AD 2

4. Adición de 2 y 3 5. De 4. Adición de ángulos y de arcos.

CASO 3: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo. HIPOTESIS: Circunferencia de centro O  ACB es un ángulo inscrito.
m  AB 2

TESIS: m ACB

1. Se traza el diámetro CD 2. m ACD 3. m BCD

m  AD 2  m BD 2

1. Construcción 2. De 1.Caso 1

3. De 1. Caso 1

4. m(  ACB) = m(  ACD) – m(  BCD) 5. m ACB 6. m ACB COROLARIO 1.

m  AD 2 m  AB 2

 m BD 2

4. Resta de ángulos 5. Sustitución de 2 y 3 en 4.

6. De 5. Resta de arcos.

CD es un diámetro
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

La circunferencia

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COROLARIO 2:

C

D

Los ángulos inscritos en el mismo arco soncongruentes

COROLARIO 3: Rectas paralelas determinan arcos congruentes.      AD  BC m BA m DC

TEOREMA: En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos congruentes. HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia; CD AB
 TESIS: m CD m  AB

1. OA

OB OC 2. AB CD

OD

1. Son radios de la misma circunferencia 2. De hipótesis 3. De 1 y 2. L – L– L 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos congruentes 5. Son ángulos centrales 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva.

3. AOB COD 4. m (  AOB) = m (  COD) 5. m (  AOB) = m (arco AB) y m (  COD) = m (arco CD) 6. m (arco AB) = m (arco CD)

TEOREMA. RECIPROCO DEL ANTERIOR. En una circunferencia, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes. (Demostrarlo) TEOREMA Una recta que...