La Circunferencia

UNIVERSIDAD ALAS
PERUANAS
MATEMATICA II
La circunferencia

De un pedazo de tela, ¿Cómo cortarías un mantel
circular?

Podrías primero elegir el radio que quieres que
tenga el mantel.

Después tomar una cinta con esa medida, fijar sobre la
tela uno de los extremos de la cinta y desplazarla estirada
en cualquier dirección.

Ello determinará la orilla del mantel. Puedes observar que la
distanciadel centro a cualquier punto de la orilla del mantel
es siempre la misma.

Definiciones
• Un círculo es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
• Un círculo es el conjunto de los puntos en el plano
que se encuentran a una distancia fija (radio) de un
punto fijo (centro).
• Vamos a empezar con el círculo determinando la
ecuación de uno de ellos que tengacentro en el
origen.

Si queremos encontrar el lugar geométrico de los
puntos que equidistan del origen 4 unidades,
llamemos P(x, y) a uno de los puntos del lugar
geométrico.
P(x,y)

4

•Como la distancia del origen a P(x, y) debe ser 4
entonces si llamamos O a el origen d(P,O)=4.
•Es decir
 x  0   y  0 4
2

2

•Elevando al cuadrado tenemos x2+y2=16
•El lugar geométrico tiene ecuaciónx2+y2=16

Podemos hacer esto mismo si deseamos encontrar la
ecuación que satisface los puntos P(x, y) cuya
distancia al origen O(0, 0) es igual a r, siendo r
cualquier número no negativo, entonces vemos que
dichos puntos deben satisfacer: d(P, O)=r
d  P ,0  

 x  0 2   y  0 2

De aquí que x2+y2=r2

r

y
r
x

Así que la ecuación del círculo de radio r con
centro en el origen es x2+y2= r2Vamos a ver ahora una aplicación de lo anterior.
Ejercicio en equipo: Si un ángulo inscrito en un círculo
subtiende un diámetro, entonces es recto.
Solución: Podemos colocar al círculo con centro en el
origen, y al diámetro de referencia sobre el eje x. Las
coordenadas de los vértices del triángulo ABC son:
A(xo,yo), B(-r,0), C(r,0)
A(x ,y )
o

B(-r,0)

o

C(r,0)

• Como queremos ver que esetriángulo es
rectángulo necesitamos probar que tiene un
ángulo recto.
• Llamamos m1 a la pendiente del lado AB y m2 a la
pendiente del lado AC del triángulo.
A
m1 

B
C

y0  0
x0  r

m2 

y0  0
x0  r

Para probar que el ángulo formado por esos dos lados es
recto, debemos ver que AB y AC son perpendiculares, para
ello debemos probar que: m1m2= -1
2

y
y0
y
m1 m2  0 
 20 2
x0  r x0  r x0  rComo el punto A(xo, yo) está sobre el círculo, entonces:
xo2+yo2=r2
xo2 - r2 = -yo2
Entonces, m1m2=-yo2/yo2= -1
Por tanto, los lados son perpendiculares y el ángulo es recto.

Ejercicio en equipo

Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son los extremos de una cuerda del círculo
x2+y2=r2, entonces la recta que une el punto medio del segmento
PQ con el centro del círculo es perpendicular a la cuerda dada.

Q
PSolución:
• El círculo x2+y2=r2 tiene centro C(0,0) y radio r.
• El punto medio del segmento PQ es
 x1  x2 y1  y 2 
R
,

2 
 2

• La pendiente de la recta que une este punto medio
con el centro C(0,0) del círculo es:
y1  y 2
 0
y  y2
m1  2
 1
x1  x2
x1  x2
 0
2

• La pendiente de la recta que pasa por P y Q es
y 2  y1
m2 
x2  x1

• Para ver que las dos rectas sonperpendiculares
debemos probar que m1m2= -1 
 y  y2
m1 m2  1
 x1  x 2

• Entonces:

 y 2  y1  y1 2  y 2 2

  2
2
 x 2  x1  x1  x 2

• Como P está sobre el círculo, entonces x12+y12=r2
de donde y12=r2- x12
• Análogamente y22 = r2 – x22
• Así,

2

m1 m2 

y1  y 2
2

x1  x 2

2
2

2





r 2  x 2  r 2  x1
2

x1  x 2

2

2

  x

2
2

2

 x1

x1  x 2

2

2

 1

• Por lo tantola cuerda que pasa por P y Q y la recta que pasa por
el punto medio de la cuerda y el centro son perpendiculares.

Problema 1.

y
2.5 pies

x

4 pies

• Una mezquita tiene una
entrada “de cerradura”
formado por un
rectángulo
rematado
por un círculo, como
vemos en la siguiente
figura. Deduce una
ecuación del círculo que
tenga
esa
posición
respecto a los ejes.

Problema 2.
• Una propiedad muy...