La conica
Páginas: 6 (1454 palabras)
Publicado: 4 de abril de 2011
La Cónica.
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas ohipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron elproblema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.
Cónicas
Estas figuras son conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.
La Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línearecta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situacionesreales:
• La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
• La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante esuna parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
• Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en elcentro de la Tierra.
Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.
La Circunferencia
Se denominacircunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
[pic]
Ecuación analítica de la circunferencia
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determinaun triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos
x2 + y2 – 2ax –2by –r2 = 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 ⇒ 6 = – 2a ⇒ a = – 3
E = – 8 ⇒ – 8 = – 2b ⇒ b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 ⇒ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 ⇒ r = 6
La ecuación de la...
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas ohipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron elproblema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.
Cónicas
Estas figuras son conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.
La Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línearecta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situacionesreales:
• La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
• La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante esuna parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
• Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en elcentro de la Tierra.
Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.
La Circunferencia
Se denominacircunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
[pic]
Ecuación analítica de la circunferencia
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determinaun triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos
x2 + y2 – 2ax –2by –r2 = 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 ⇒ 6 = – 2a ⇒ a = – 3
E = – 8 ⇒ – 8 = – 2b ⇒ b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 ⇒ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 ⇒ r = 6
La ecuación de la...
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