la crisis actual

La crisis actual
de los fundamentos de la Matemática

Introducción

La Matemática, como todas las ciencias, ha pasado en su largo desarrollo por numerosas crisis, las cuales ha podido superar felizmente, resurgiendo de cada una de ellas más sólida y pujante, y mostrando en su acervo metodológico nuevos y más refinados instrumentos de investigación.

Estas crisis a que aludimos han seguidoinvariablemente, como inevitable secuela, a las innovaciones más radicales experimentadas por la Matemática en el curso de su historia. Una de las más importantes, merecedora de ser siquiera mencionada aquí, fue la gran crisis epistemológica que siguió a la creación de la Geometría analítica por Renato Descartes, hacia 1637, y del Cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz (hacia fines del sigloXVII) y que prolongándose durante todo el siglo XVIII, sólo vino a ser superada en el pasado siglo por obra de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y otros, al lograr estos matemáticos establecer, por primera vez, con claridad y precisión, los conceptos de número real, de límite, de infinitesimal, de continuidad, de convergencia... Los matemáticos del siglo XVIII, ocupados en desarrollar las consecuenciasdel nuevo cálculo y sus múltiples e importantes aplicaciones a la Geometría, a la Mecánica, a la Física y a la Astronomía, casi no se preocuparon por sus fundamentos y una densa niebla metafísica invadió sus concepciones básicas. Para algunos matemáticos de aquella época «una cantidad que es aumentada o disminuida en un infinitesimal no es aumentada ni disminuida», en tanto que para otros «loinfinitesimal es el espíritu de una cantidad que se desvanece». Puede decirse que aplicaban el cálculo diferencial e integral sin tener una idea precisa de sus conceptos fundamentales y sin percatarse de sus limitaciones y su alcance. En consecuencia, sólo hombres de un fino espíritu matemático, como Euler, se libraron de cometer errores groseros. De este estado metafísico pasó el Cálculo al estadocientífico en el siglo XIX, al introducirse en sus fundamentos el rigor, alcanzándose su estructuración dentro de las tradicionales normas helénicas de perfección lógica.

En el período 1874-1895, G. Cantor provocó una nueva revolución en la ciencia matemática al crear su teoría de los conjuntos (Mengenlehre). Después de los trabajos de Cantor la teoría de los conjuntos ha venido a desempeñar elpapel de disciplina matemática fundamental, sobre la cual se construye la Aritmética, el Análisis, la Geometría, la Topología. Pero esta radical innovación ha producido una nueva y profunda crisis filosófica en medio de la cual se debate aún nuestra ciencia, sin que sea posible predecir con certeza en qué dirección se logrará vencer las dificultades a que ha conducido el riguroso análisis que seha hecho en los últimos tiempos de las bases lógicas y epistemológicas de la Matemática.

El logicismo

Frege fue el primero en sostener que la Matemática es simplemente una parte de la Lógica y, por tanto, es susceptible de edificarse con procedimientos lógicos puros. Entre 1879 y 1903 Frege dedica tesoneros esfuerzos a sentar la Matemática sobre bases lógicas exclusivamente, los resultados delos cuales expone en su obra fundamental Grundgesetze der Arithmetik (2 vol. 1893-1903). En esta obra Frege hace frecuente uso de la noción de conjunto de todos los conjuntos, lo que le conduce a un completo fiasco en sus propósitos, como el propio autor tiene la valentía de reconocer al final del segundo tomo, cuando dice: «Un científico no puede encontrar nada menos deseable que hallar que todoel fundamento de su obra cae precisamente en el momento que le da fin. He sido puesto en esta posición por una carta de Mr. Bertrand Russell cuando este trabajo se hallaba casi terminado en la imprenta».

En esta carta Russell comunicaba a Frege su famosa antinomia sobre el conjunto C de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismo como elemento. La contradicción surge al considerar que...