La cuestión del infinito: una aproximación a través de la historia de las matemáticas.


La cuestión del infinito: una aproximación a través de la historia de las matemáticas.

En este texto pretendo mostrar brevemente la concepción que tenían los antiguos acerca del infinito; luego hablaré a grandes rasgos acerca de tres temas, a saber, dos descubrimientos importantes en la historia de la matemática y un problema aún vigente que están relacionados con el infinito; éstos son elcálculo infinitesimal, los números transfinitesimales y la hipótesis del continuo. Trataré de esbozar brevemente el contexto en el que se desarrollaron y algunas consecuencias de la forma como se abordaron estas cuestiones y su relación con el concepto de infinito con el propósito de reseñar a grandes rasgos como se afrontó la cuestión del infinito a través de la historia en las matemáticas.
Elinfinito en la antigüedad
Cada colectividad en una época determinada tiene unas ideas básicas comúnmente aceptadas por todos, sea de forma consciente o no, y que son una especie de trasfondo a la vida intelectual. (Gonzales, 1958, pág. 326). Dice Luis Gonzales a este respecto que “El tipo mental griego que creó la Geometría se caracterizaba por la creencia filosófica en la unicidad del ser, launicidad de la verdad ontológica y la unicidad de la verdad óntica.” (Gonzales, 1958, pág. 326)
De aquí que “Para ellos [,los griegos]1, una operación de capital importancia era definir, delimitar; porque no se podía hacer ciencia con objetos indeterminados. (…) Lo primero era, pues, definir, delimitar” (Gonzales, 1958, pág. 326)
Estas características ya permeaban la matemática de los presocráticosy por ende, la concepción del infinito en la antigüedad. Para el siglo VI a.C. Parménides “había introducido en la filosofía el principio de la identidad como método de trabajo. Y armado con ese instrumento poderoso, lo aplicó inmediatamente a resolver el problema del movimiento. El resultado fue el fracaso más rotundo. Parménides llegó a la conclusión de que el movimiento es ininteligible,porque es contrario a la razón.” (Gonzales, 1958, pág. 332). Ante los ataques de las otras escuelas filosóficas de la época Zenón de Elea, discípulo de Parménides, presenta unas paradojas donde, aceptando las ideas las otras escuelas, llegaba a conclusiones absurdas.
Zenón sostenía que “el aceptar la pluralidad conducía por razonamientos lógicos legítimos, a la conclusión de que todo era infinitamentegrande o infinitamente pequeño. Y que aceptar el movimiento como infinitamente divisible, nos lleva a la conclusión de que nada se mueve.” (Heredia, 2008). ¿Y qué pasaba si se demostraba que todo dentro de la ciencia de los griegos tendía hacia lo infinitamente pequeño lo infinitamente grande? Pues, ya que lo infinito no se puede delimitar, no podía haber ciencia, no podía haber verdad. Por estarazón se dice que los griegos le tenían “horror al infinito”, pues éste aparecía en sus reflexiones como el camino seguro para alejarse de lo uno, de la verdad.
El problema del infinito también fue abordado en la antigüedad por Aristóteles quien hizo una división del infinito que ha perdurado hasta nuestros días. Aristóteles, en el tercer libro de la Física, distingue entre el infinito potencialy el infinito actual. El infinito potencial se entiende “como como un proceso de crecimiento sin final o de subdivisión sin final” (Ortiz, 1994, pág. 61), es decir, como una tarea de seguir paso a paso haciendo la lista de cierta clase de elementos o de subdividir un elemento y que, duremos el tiempo que duremos haciendo esta tarea, está continuará por siempre; y el infinito actual “como unatotalidad completa” (Ortiz, 1994, pág. 61), es decir, como una lista de elementos que los contiene a todos y cada uno en acto, que existen actualmente.
Aristóteles se inclina por la idea del infinito potencial. Para Aristóteles, las únicas totalidades posibles son las finitas, como señala Ferrater mora: “[Aristóteles]2 llega a negar la actualidad de la infinitud de puntos de una línea dada, ya que...