La demostración

SOBRE LA DEMOSTRACIÓN. HISTORIA Y ENSEÑANZA

RESUMEN

En este trabajo se muestra de manera concisa la evolución conceptual del proceso de demostración matemática a través de la historia, comenzando por las civilizaciones antiguas, pasando por Euclides y Hilbert hasta llegar a nuestros tiempos; se dan algunas definiciones de este concepto, así como información a tener en cuenta dentro delsalón de clases cuando se está enseñando matemática. Se espera que después de leer este trabajo, el lector pueda reproducir de manera más idónea el proceso de enseñanza-aprendizaje dentro del aula. La demostración empírica que era el método de prueba que predominaba cuando el hombre comenzó a hacer matemática (de una manera erudita) tuvo que ser cambiada por modelos teóricos más sistematizados,concretos y abstractos (se da el paso a la representación mediante modelos de los conceptos abstractos).
Cuando aparece Euclides se avanza mucho en cuanto a lo que existía para ese entonces, sin embargo con la llegada del proceso de desustanciación de la matemática propiciado por Hilbert se da un giro de casi 180 grados en este tema.

INTRODUCCIÓN

A través del tiempo el concepto de demostraciónha tenido varias connotaciones y distintas formas de ser visto. Si miramos este tema desde el principio, encontramos que todo ese bagaje histórico que trae la demostración comienza desde los griegos (aunque, algunos autores hablan también de antiguas civilizaciones Chinas y Babilónicas). En ese entonces las afirmaciones eran demostradas de una manera empírica, es decir, mediante la eraobservación de los fenómenos y la experiencia. En este trabajo se verá que eso es insuficiente para un estudio matemático de rigor, puesto que existen hechos naturales (y matemáticos) cuya prueba no puede ser concebida empíricamente. Este trabajo puede ser de utilidad para aquellas personas que se encuentran interesadas en la parte didáctica que concierne a la demostración matemática y la forma como estadebe tratarse dentro del aula de clases, pues aquí se muestra algunos conceptos a tener en cuenta a la hora llegar a un salón a dictar matemática. Es importante notar que como la demostración es un proceso de convencimiento, cada cual tiene una manera muy personal de ser convencido, es ahí donde entra en juego las distintas clases de demostración.

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

A través deltiempo la demostración ha sido objetos de varias definiciones; he aquí algunas:
* En lógica matemática y en lógica proposicional, una demostración es una secuencia finita de fórmulas lógicas bien formuladas F1, F2, … , Fn tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se deduce de dos fórmulas anteriores Fj y Fk mediante una regla de deducción válida. Dada una demostración como laanterior, si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un teorema. De http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40957430.
* “Sea un sistema de proposiciones X. Una demostración de la proposición Q es una sucesión finita de expresiones Q1, Q2, ... , Qn que terminan en Q y que satisface para cada término Qi una de las siguientes condiciones: Qi pertenece a X o Qi puede deducirse deexpresiones precedentes, o expresiones de X mediante una regla de inferencia”. (Muller H. [1] y [2])
* Una prueba es un dispositivo retórico para convencer a alguien de que una afirmación matemática es verdadera o válida. [7]
Mientras que algunos autores se remiten al enfoque de la secuencia de razonamientos, otros simplemente se refieren a la función de convencimiento que hay en una demostración.Existen distintas técnicas de demostración y entre las más comunes encontramos:
* Demostración directa: donde la conclusión se establece por una combinación lógica de axiomas, definiciones y teoremas precedentes.
* Demostración por Inducción: donde se prueba un caso base, y se usa una regla de inducción para probar una serie (a menudo infinita) de otros casos.
* Demostración por...