la derivada


LA DERIVADA



Introducción:


Fue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Kepler
había descubierto medio siglo antes, llegó a la idea de incremento de una función como se nos
Ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleración de los cuerpos en movimiento, conceptos
básicos de la Dinámica.
En el Cálculo Diferencial es fundamental comprender estaidea de incremento que se
Asocia a la noción de derivada y ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones a
Problemas como determinar la ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores
Máximos o mínimos de las funciones.
La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se
Aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad deun móvil, conocida su ley de
Movimiento como también a la solución de otros problemas ligados a economía, demografía,
Costos, ingeniería, etc.
La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente
a una curva en un punto dado .











 



El concepto de derivada está intimamamente ligado a el del límite .
Para comenzar debemos recordarcual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :

El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta, y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal.
Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dospuntos): 

Por lo tanto tendremos que :

Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :

Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)




La ecuación de la recta tangente vendrá dada por :

Donde la pendiente es :

Pues bien a la pendiente de la recta tangentese le llama derivada de la función en ese punto :

 
¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?
Puesto que la derivada es un límite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo :
Sea la función f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3




 Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que :
f '(1) = 2 · 1 = 2
Por lo tanto lapendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .
Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente, es decir, al aumentar la x aumenta la y.
¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada?
Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que
f '(-1) = 2 · (-1) = -2
En este caso la pendiente es negativa por lo que la funciónen este punto es decreciente.
Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera, vemos que si x0 es positivo, la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente.
¿Qué ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si noque tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha.

 
Conclusión: la derivada nos puede servir para estudiar las funciones.
 




1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se lelama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
 
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función...