La Derivada

Moisés Villena Muñoz

Cap. 3 La derivada

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3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DEFUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4
OBJETIVOS:
• • • • Definir derivada. Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva. Realizar demostraciones formales de derivada. Calcular derivadas.

3.7

FUNCIONES HIPERBÓLICAS
FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

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Cap. 3 La derivada

Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto conISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico.

3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en unpunto x0 , Fig. 3.1.
y

y = f ( x)

y0

x0

x

Fig. 3.1

La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 )
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2

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y

y = f ( x)

f ( x0 + h )
f ( x0 + h ) − f ( x0 )

f ( x0 )
h

x0

x0 + h

x

Fig. 3.2La pendiente de la recta secante entre los puntos

( x0 , f ( x0 ) )

y

( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

mtg = lím
h→0

f ( x0 + h) − f (x0 ) h

3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Suponga que se tengan la ecuación del espacio que sea función del tiempo; es decir determinar la velocidad media estaría dada por:

e = f (t ) .

e

recorrido por un móvil, y

Suponga ahora que se quiere

vm

en un intervalo de tiempo

[t0 , t0 + h] , esta

vm =

Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 ) = Δt t0 + h − t 0

La velocidad instantánea v seríala velocidad media calculada en intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:

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v = lim vm = lim
Δt →0

f ( t0 + h ) − f ( t 0 ) Δe = lim Δt →0 Δt h →0 h

Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se darála definición de la derivada.

3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA

Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada de f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define como:
f ´(x0 ) = lím h →0 f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

Siempre que este límite exista.

Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ". Otras notaciones que seemplean para la derivada son: Leibniz utilizó la notación

y´

o

Dx y .

dy . dx

En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

f ´( x) = lím
h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

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3.4 FORMA ALTERNATIVA
Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil. En la expresión para la...