La Derivada

El concepto de derivada está presente cada vez que se produce un ritmo de cambio. Podemos verlo en el movimiento de los automóviles, en la caída de objetos, en una frenada brusca, en el aumento de una especie animal, en la superficie cubierta a medida que se va pintando una pared, y la lista es prácticamente interminable.

Para el desarrollo del concepto de derivada y aplicaciones de la 1° y 2°derivada, llevaremos a cabo al menos seis clases, logrando así poder desplegar el contenido y la práctica ampliamente.

PRIMERA CLASE: LA DERIVADA

CONTENIDOS

❖ Derivada
✓ Derivada y recta tangente
✓ Derivada y razón de cambio
✓ La función derivada
▪ Calculo de derivadas
✓ Algebra de derivadas
✓ Regla de la cadena

DERIVADA Y RECTA TANGENTE

Elconcepto de derivada se origina a mediados del siglo XVII, cuando el matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) intento obtener máximos y mínimos de ciertas funciones. Él observo que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máximo o un mínimo, la tangente a ella debe ser horizontal, lo que lo llevo a definir con precisión el concepto tangente a una curva.

Consideremos los siguientesconceptos:
→ C es el gráfico de una función f definida en un intervalo abierto.
→ P ⋲ C, es decir P tiene coordenadas (c; f(c)).
→ Q es otro punto cualquiera de C, de coordenadas (c + h; f(c+h)), donde h es un numero real no nulo.
Lo de resulta que:
• La pendiente de la secante S será[pic]
• La tendencia de Q hacia P se logra haciendo que h→0.
• Parece naturaldefinir entonces a la pendiente de la recta tangente a C, en el punto P, como: [pic] siempre que este límite










existe y sea finito.



Ejemplo 1: hallamos la pendiente de la recta tangente (rt) al grafico de y =x2 en el punto de abscisa 1.


Calculamos:



El [pic] tiene significado geométrico: es la pendiente de la recta tangente al grafico de f en elpunto de abscisa x= c.


Este concepto se constituyo en un concepto matemático fundamental, denominado derivada de f en c.


Se llama DERIVADA de f en c, y se simboliza f‘(c), al número: [pic] siempre que este límite y sea finito.


Si existe f‘(c), se dice que f es derivable en c.



Analicemos el denominador y el numerador del cociente [pic] al que denominamos cocienteincremental de f en c:



• Su denominador h es el incremento de x cuando x pasa
del punto c al c+h. además, h puede ser positivo o negativo, pero no nulo.
• Su numerador f(c+h) – f(c) es el incremento de f correspondiente al incremento h.


Los incrementos de x y de f también suele escribirse así:
[pic] y f(c+h) – f(c) [pic]














Observen que esto nospermite escribir: [pic]①


Otra forma de escribir la derivada de f en c.
Si consideramos x= c + h, entonces:
[pic]


Además, que “h→0” es equivalente a que “x→c”.
Por lo tanto:
f(c)= lím f(x) – f(c) ②
xfic x - c











Las expresiones ① y ② son otras dos formas de expresar f’(c). Las podemos usar indistintamente según nos convenga.


Derivada y razónde cambio
La derivada de una función en un punto es un concepto matemático fundamental. La siguiente cuestión nos permitirá comprender la importancia del significado del concepto que subyace en ese límite.
El cociente incremental de f en c indica la variación o cambio relativo de f cuando x pasa por el punto c + Δr → 0, es decir, la derivada de f en c, indica la variación o cambio entre“instantáneo” de f en c y se denomina razón (o tasa) instantánea de cambio de f en c: [pic]
La velocidad es un ejemplo de “razón instantánea de cambio”.
La función derivada. Calculo de derivadas
Dada la función f, llamamos función derivada de f (f’) a la función que, a cada x (donde f es derivable), le hace corresponder f’(x).






En la definición anterior se mencionan los puntos en los que...