La Derivada

Cap. 3 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA
TANGENTE.
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
3.4 FORMA ALTERNATIVA
3.5 DIFERENCIABILIDAD
3.6 DERIVACIÓN
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
3.6.7DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

3.7

FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3.7.1
3.7.2
3.7.3
3.7.4

FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

OBJETIVOS:
•
•
•
•

Definir derivada.
Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas
normales a una curva.
Realizar demostraciones formales dederivada.
Calcular derivadas.

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Moisés Villena Muñoz

Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la
ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue
resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da
inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIEDWILHELM
LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por
describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo
una trayectoria, después veremos que es el mismo problema.
Empecemos primero estudiando el problema geométrico.

3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la rectatangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1.
y

y = f ( x)

y0

x

x0

Fig. 3.1

La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 )
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.
Observe la Fig. 3.2

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y = f ( x)

y

f ( x0 + h )
f ( x0 + h ) − f ( x0 )

f( x0 )
h

x0

x

x0 + h

Fig. 3.2

La pendiente de la recta secante entre los puntos

( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =

( x0 , f ( x0 ) )

y

f ( x0 + h) − f ( x0 )
h

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada
vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la
recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; esdecir:

mtg = lím
h→0

f ( x0 + h) − f ( x0 )
h

3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Suponga que se tengan la ecuación del espacio
que sea función del tiempo; es decir
determinar la velocidad media
estaría dada por:

vm =

vm

e = f (t ) .

e

recorrido por un móvil, y

Suponga ahora que se quiere

en un intervalo de tiempo

[t0 , t0 + h] , esta

Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 )
=Δt
t0 + h − t 0

La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de
tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:

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f ( t0 + h ) − f ( t 0 )
Δe
= lim
Δt →0 Δt
h →0
h

v = lim vm = lim
Δt →0

Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma
que la de la pendiente de la rectatangente, por tanto el problema sería el mismo.
De aquí se dará la definición de la derivada.

3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA

Sea f una función de variable real. Sea x0
un punto del dominio de f . La derivada de
f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define
como:
f ´(x0 ) = lím
h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h

Siempre que este límite exista.

Cuando la derivada en " x0 " existe sedice que es f es diferenciable en " x0 ".
Otras notaciones que se emplean para la derivada son:
Leibniz utilizó la notación

y´

o

dy
.
dx

En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

f ´( x) = lím
h →0

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f ( x + h) − f ( x )
h

Dx y .

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3.4 FORMA ALTERNATIVA
Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la...