La Distribución Multinomial

La distribución Multinomial
 
Este modelo se puede ver como una generalización del Binomial en el que, en lugar de tener dos posibles resultados, tenemos r resultados posibles.
Supongamos que el resultado de una determinada experiencia puede ser r valores distintos: A1, A2, ..., Ar cada uno de ellos con probabilidad p1, p2, ..., pr, respectivamente.

Si repetimos la experiencia n veces encondiciones independientes, podemos preguntarnos la probabilidad de que el suceso A1 aparezca k1 veces, el suceso A2, k2 veces y así sucesivamente:

Al modelo estadístico que nos da dicha probabilidad se le denomina Multinomial, y su función de densidad viene dada por:

como se ve, el modelo Multinomial queda definido por los parámetros (n, p1, p2, ..., pr). La fórmula anterior puede deducirse de formaanáloga al caso Binomial. En realidad, si tomamos r = 2 tenemos exactamente el modelo Binomial.
Se debe destacar que este modelo es un ejemplo de distribución multivariante, es decir, de distribución conjunta de varias (r) variables aleatorias. En efecto, si definimos la variable aleatoria X1 como número de veces que se produce el suceso A1 de un total de n experiencias,  y así sucesivamente,tenemos un conjunto de r variables aleatorias discretas cuya función de densidad conjunta (valorada a la vez) viene definida por la anterior fórmula. Nótese que si consideramos cada una de estas variables Xi (i = 1, 2, ..., r) por separado, su distribución es la Binomial de parámetros n y pi.


DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA O DE PASCAL
    La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellosprocesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.
Proceso experimental del que se puede hacer derivar
Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimentalpuro o de Bernouilli en el que tengamos las siguientes características
· El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).
· Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A
· La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la deobtener un resultado no A es q 
siendo (p + q = 1).
Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .
· (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número depruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.
                                                                                           
Obtención de la función de cuantía
    De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el número de pruebas necesarias para la consecución delprimer éxito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ; í1,2,………ý
    La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en la X-sima prueba. Esto es , P(X) será la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados "no A" y un éxito o resultado A en la prueba número X teniendo en cuenta que todas laspruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades tendremos:
                          
dado que se trata de sucesos independientes y conocemos las probabilidades
                                             
                                                luego la función de cuantía quedaría 
 
            Algunos autores consideran la aleatorización como "número de pruebas anteriores...