La Elipse
Páginas: 3 (582 palabras)
Publicado: 6 de julio de 2012
Elipse.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse .Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de lasdistancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :
PF + PF' = 2a
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puedequedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos loscuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 + By2+ Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales .
Ejemplo:
¿Cuál es la distancia de unextremo del eje menor al foco de la elipse x²/4+y²/3=1?
Aplicación:
Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a loscometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacenviajes circulares se vuelven elípticas.
En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia...
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse .Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de lasdistancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :
PF + PF' = 2a
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puedequedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos loscuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 + By2+ Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales .
Ejemplo:
¿Cuál es la distancia de unextremo del eje menor al foco de la elipse x²/4+y²/3=1?
Aplicación:
Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a loscometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacenviajes circulares se vuelven elípticas.
En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia...
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