la hiperbola

LA HIPERBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.



Elementos de la hipérbola
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento .
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos Ay A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento delongitud 2a.
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones:
                          
                                                HIPERBOLA CON CENTRO EN ORIGEN
Por definición la hipérbola es una figura geométrica que tiene dos focos, y la diferencia entre las distanciasdesde un punto hacia cada foco siempre es constante (la misma).
¿Pero cómo sabemos cual es esta distancia constante? Bueno, es fácil.
Enfoquémonos en un punto de la gráfica, específicamente el vértice A. La distancia F'A es c + a y la distancia FA es c - a. entonces tendríamos:
donde k es la distancia constante.

Resolviendo para k tenemos
Recuerda que c representa la distancia del centroa un foco y a es la distancia del centro al vértice.
Entonces, teniendo los puntos P(x,y), F(c,0) y F'(-c,0), escribimos la definición:

Ahora hacemos álgebra:




, Ahora elevamos los dos lados al cuadrado.



Como podemos notar, ahora se simplifica la expresión eliminado algunos términos.

, dividimos dentro de 4.

, de nuevo elevamos todo al cuadrado.





, ahora pasamostodos los x's y y's a la derecha y los demás a la izquierda.





Recordemos que

, dividimos todo entre (a^2 * b^2)

, y esta es la ecuación de la hipérbola.
 
                                        HIPERBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN 
La ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que:
x = x' + h
x'= x - h
y = y' + k
y' = y - k
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).

Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:

La excentricidad es mayor a la unidad> 1
o por la relación del punto a un foco con respecto del mismo punto a la directriz ubicada la mismo lado del foco.

El lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos y su longitud la calculamos por

mientras que las ecuaciones de las directrices son:
cuando la hipérbola tiene eje real horizontal, es decir, los focos están sobre el eje de las abscisas
x =
cuandola hipérbola tiene eje real vertical, es decir, los focos están sobre el eje de las ordenadas
y =
Las ecuaciones de las asíntotas son:
cuando el eje real es el eje de las abscisas
(y - k) = (x - h)
cuando el eje real es el eje de las abscisas
(y - k) = (x - h)

ECUACION GENERAL DE LA HIPERBOLA


Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focostienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:



Ejemplos
Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:



Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).





Ecuación de la hipérbola de eje vertical...