La Inversa de una Matriz Cuadrada

La Inversa de una Matriz Cuadrada


Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentesque no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).



Definición: Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces unamatriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

Ejemplo para discusión:




Notas:

La inversa de A se representa porA-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.
No toda matriz cuadrada tiene una inversa.
Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entoncesAI = IA = A.
Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.
Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.
Sean A y B matrices de orden n x ninvertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que lamatriz A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la líneavertical es la inversa de A, esto es, A-1.

Ejemplo (para discusión): Halla A-1 si existe para cada una de las siguientes matrices:




Ejercicio: Sea . Halla B-1.


Teorema: Sea A unamatriz de orden 2 x 2, definida de la forma:

. Entonces:

A es invertible si y sólo si detA ≠ 0.

Si detA ≠ 0, entonces


Ejemplo (para discusión): Halla A-1 si existe para cadauna de las matrices:



Ejercicio: Sea . Halla B-1 usando el teorema para matrices de orden 2 x 2.


La inversa de una matriz nos ayuda a resolver un sistema de ecuaciones lineales, ya que...