La mecanica ondulatoria de schrodinger

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La mecánica ondulatoria de Schrodinger.
La historia cuenta que estando este en la Universidad de Zúrich fue invitado por P Debye a dar un seminario sobre las ideas de de Broglie y el resultado fue una serie de artículos entre Enero y Junio de 1926 que dieron lugar a una formulación matemática completa de lo que hoy conocemos como Mecánica Ondulatoria.
Schrodinger planteo el problema deencontrar la ecuación que describe la evolución de las ondas de Broglie. En (5.21) y (5.24) observa la analogía entre la óptica geométrica y la dinámica de partículas. Esto había sido desarrollado por Debey en un trabajo de (1911) en el que mostraba que en el límite de longitudes de onda muy cortas las ecuaciones de ondas de la radiación electromagnética, tiende a la ecuación de la eikonalcaracterística de los rayos ópticos, ecuación que es análoga en forma a la ecuación de Hamilton–Jacobi de la dinámica de partículas. Schrodinger busca una ecuación para una partícula que tenga como límite la ecuación de Hamilton–Jacobi, de manera que mantenga un paralelismo semejante al que hay entre la ecuación de ondas para la radiación electromagnética y la ecuación básica de la óptica geométrica.
Enprimer lugar tenemos el principio de Fermat para la trayectoria del rayo óptico y el de Maupertius para la trayectoria de las partículas

A partir de ellas se obtiene la ecuación de la eikonal para la óptica y la de Hamilton–Jacobi para las partículas.

El objetivo es llegar a una ecuación de ondas, con este propósito proponemos las siguientes soluciones para cada una de ellas

De maneraque si sustituimos en la ecuación de la eikonal y en la de Hamilton–Jacobi obtenemos las ecuaciones

Con Podemos llegar a las ecuaciones de ondas, integrando para todo punto y tomando variaciones respecto de la función ; ósea:

Que conduce a la ecuación de ondas:

La última es la denominada ecuación no–relativista independiente del tiempo de Schrodinger, y que puede escribirse comoDonde H es el hamiltoniano en el que las componentes del momento lineal son reemplazadas por los operadores diferenciales

Así pues para una partícula en movimiento tridimensional la ecuación (5.38) es una ecuación diferencial. Esta debe ser resuelta sujeta a ciertas condiciones de contorno (cc) y otras condiciones adicionales sobre (las cc no han sido establecidas y para fijarlas esnecesario entrar en la naturaleza y significado de estas funciones). En matemáticas, este tipo de problemas se denomina problema de auto valores, en el sentido que solo para ciertos valores del parámetro E (que pueden ser infinitos y que simbolizaremos por ) la ecuación (5.38) posee solución (la solución correspondiente a la simbolizaremos por ), o sea

Queda por incluir en la ecuación dinámica ladependencia temporal, esto es la ecuación de ondas dependiente del tiempo. Schrodinger admite como solución una función del tipo

La dependencia temporal es semejante a la que tiene una onda monocromática estándar, por otra parte esta dependencia la sugiere la propia teoría de Hamilton–Jacobi. De acuerdo con (5.41) obtenemos que

Reemplazando en la ecuación (5.42) por H, Schrodinger obtiene laecuación general

Nótese que ahora Ψ no es una solución estacionaria de H, sino cualquier función asociada al movimiento de una partícula con hamiltoniano H.Debe resaltarse que el procedimiento seguido no puede ser considerado nunca como una deducción de la ecuación de Schrodinger en el sentido de que es obtenida desde principios más básico ya conocidos. El único propósito de esta digresión esmostrar como Schrodinger llego a la formulación de la ecuación de movimiento de la función de onda asociada a una partícula. La ecuación (5.43) debe ser considerada como un postulado básico de la mecánica cuántica, y si queremos establecer un paralelismo con la mecánica clásica, podemos decir que (5.43) es la segunda ley de Newton, o la ecuación de Euler–Lagrange para la dinámica de una partícula....
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