la resolucion

GRADO EN ECONOMÍA.
MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA y
LA EMPRESA
RELACIÓN COMPLEMENTARIA DE PROBLEMAS.
LECCIÓN 1 (Epígrafes 5-6)

1.- Dada la función f ( x, y)  e  xy calcule el desarrollo de Taylor de orden dos en el
punto (1, 0).
Solución:
El desarrollo de Taylor de una función diferenciable es una forma de aproximar ésta por
expresiones polinómicas más sencillas en el entorno de unpunto. Cuando sólo interesan
propiedades locales de la función, cerca de un determinado punto, Taylor permite
aproximarla (mejor cuanto mayor grado se considere en el polinomio), con un error
pequeño, en un entorno de dicho punto. El desarrollo de grado uno no es sino una
linealización de f, mientras que el de grado dos es una cuadratización de la misma.
La fórmula de Taylor de grado dos de f(x,y) alrededor del punto (1,0), puede
expresarse:
 x 1 1
 x 1
f ( x , y )  f (1, 0 )  f (1, 0 ) t 
 y  0   2 x  1 y  0f (1, 0 ) y  0 








la cual es válida para valores de ( x ,y ) en un entorno del punto dado, ( x ,y )(1,0), si
bien en puntos más alejados ya no lo sería.
Así pues, para hacer el desarrollo de Taylor, debemos calcularf(1,0),f(1,0) y f(1,0).
Pues bien,
f(1,0) = e0 = 1
f x , y 
f 1, 0 
  y e  xy 
0
x
x
f x , y 
f 1, 0 
  x e  xy 
  e o  1
y
y
Por consiguiente
0
f (1 , 0 )   
  1
 
Calculemos ahora las segundas derivadas parciales de f en ( 1 , 0):
 2 f x , y 
 2 f 1, 0 
 y 2 e  xy 
0
x 2
x 2
 2 f x , y 
f 1, 0  o
 x 2 e  xy 
e 1
2y
y

 2 f x , y 
 2 f 1 , 0  2 f 1 , 0
  e  xy  xy e  xy  e  xy ( xy  1) 

 1
yx
yx
xy
Así pues,

 0  1
 f ( 1, 0 )  
 1 1 



Por tanto, el desarrollo de Taylor de grado dos alrededor del punto (1 , 0) de nuestra
función, resulta:
 x  1 1
 0  1 x  1
  x  1, y 
f ( x , y )  1  0 1
 y  2
  1 1  y  







 1  y  y ( x  1) 

1 2
y
2

2.- Calcule el desarrollo de Taylor de orden dos de la función g(x, y) en el punto (1,1),
2
2
g ( x, y)  e x  y .
Solución:
Para obtener el desarrollo de Taylor de g alrededor del punto (1, 1), obtengamos el valor
de la función, de su gradiente y de su hessiana en dicho punto:
g(1, 1) = 1,
2
2
g
( x, y )  2 xe x  y
x
22
g
( x, y )  2 ye x  y
y

2
2
2g
( x, y )  ( 2  4 x 2 ) e x  y
x 2
2
2
2g
( x, y )  4 xye x  y
yx
2
2
2
 g
( x, y )  (2  4 y 2 )e x  y
2
y

g

(1,1)  2 
 2 

x
  g (1,1)    ,
  2
g
 
(1,1)  2

y



2g
(1,1)  6 
x 2

 6  4
2g

(1,1)  4  Hg (1,1)  
 4 2  .

yx



2g
(1,1)  2 
y 2


Por lo tanto, el desarrollo en serie buscado es:
 x  1 1
 x  1
  x  1 y  1Hg (1,1)
T ( x, y )  g (1,1)  g (1,1) t 
 y  1 2
 y  1 





 x  1 1
 6  4  x  1
 1  2  2
 y  1  2 x  1 y  1  4 2  y  1 









1  4 xy  3x 2  y 2

3.- Dada la función
f ( x, y, z )  y 2 Ln( x  y z 2 )

determine:
a) El vector gradiente de f en el punto ( x0 , y0 , z0 )  (1, 1, -1)

b) El desarrollo de Taylor, alrededor del punto ( x0 , y0 , z0 )  (1, 1, -1), de grado dos.
c) Si es homogénea la función f.
df
d) La derivada
para t = 0, si x(t )  2t 2  1, y(t )  1  t , z(t )  t  1 , aplicando la
dt
regla de la cadena.
Solución:
a) El vector gradiente viene dado por lasderivadas parciales primeras:
 f ( x, y, z ) 

y2

 

x

 
x

f ( x, y )  

2
f ( x , y , z )  
  2 yLn xyz  y 

y


 
2 y2



 f ( x, y )  

 
z

z


Y sustituyendo en el punto:
 1 
 
f (1,1,1)   1 
  2
 





b) El desarrollo de Taylor de grado dos de f(x, y, z) alrededor del punto...