La Serie Binomial De Newton



En que es equivalente la versión de newton al teorema 17.
Newton desarrollo la fórmula para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.
La fórmula de newton sirve paracalcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios
Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a+b)n como una suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallarutilizando el triángulo de tartalia
Potencias desarrollos coeficientes
(a+b1 a+b 1
(a+b) 2 a2 + 2ab + b2 1 2 1
(a+b) 3 a3 + 3ª2b + 3ab3 + b2 1 3 3 1
(a+b) 4a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1
Seobserva que los coeficientes de desarrollo de (a+b)2, (a+b)3 y (a+b)4 son respectivamente, los numeros de las filas segunda, tercera y cuarta del triángulo de tartagalia.
Los desarrollo de (a+b)2, (a+b)3y (a+b)4 son polinomios completos y ordenados en a y b , decrecientes respecto de a y crecientes respecto de b.
El grado de cada uno de los monomios (suma de los exponentes de a y b) es, en cadacaso, igual al exponente d la potencia.
Estas observaciones son válidas para cualquier exponente.
Ab4 + b5
Generalizando se obtiene la fórmula del binomio de newton:
(a +b) n= (n 0) a n + (n1) an-1b +(n2) a n-2 b 2 +… + ( n n-1) a b n- 1 + ( n n) bn
Para obtener (a-b)n se desarrolla en el que lso términos son alternativamente positivos y negativos.
(a-b)n= (a +(-b))n= = (n 0) a n (-b) 0 + (n1) a n –1 (-b)1 + (n 2) an- 2 (-b) 2 +…==(n 0) a n- (n1) 1b + (n2) an – 2 b2- (n3) an – 3b3+…(nn) bn.
El teorema de la serie binomial establece establece que (1 + x) k es igual a la suma de su serie deMaclaurin.
Es posible demostrar esto al probar que el residuo Rn(x) se aproxima a 0, pero esto resulta
Ser muy dificil. Aun cuando la serie binomial siempre converge cuando 􀁕􀀀x 􀁕 􀀌 1, la pregunta de siConverge o no en los extremos, 􀀖 1, depende del valor de k. Resulta que la serie converge
En 1 si 􀀒1 􀀌 k 􀁶 0 y en ambos extremos si n 􀀞 k. Nótese que si k es un entero positivo
y n 􀀎 k, entonces la...