La transformada de laplace

Cap´
ıtulo 8

La transformada de Laplace
8.1.

Introducci´n a las transformadas integrales
o

En este apartado aprenderemos un m´todo alternativo para resolver el problema de valores
e
iniciales (4.5.1)
y (x) + py (x) + qy(x) = f (x),

p, q ∈ R,

y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 .

(8.1.1)

La idea consiste en convertir de alguna forma la EDO en una ecuaci´n algebraica en generalo
m´s “sencilla” de resolver y luego invertir el proceso de forma que obtengamos la soluci´n
a
o
buscada1 . ¿Es posible y si lo es, c´mo hacerlo? La respuesta la da una conocida transformada
o
integral.
Para tener una idea de que es una trasformada integral consideraremos, por ejemplo, el
espacio R[a,b] de las funciones f (x) integrables seg´ n Riemann en [a, b] y sea K(x, t) una
ufunci´n integrable en [a, b], para todo t ∈ A ⊂ R. Entonces podemos definir para cada una
o
de las funciones de R[a,b] podemos definir un funcional2 T [f ] tal que
b

K(x, t)f (x)dx = F (t).

T [f ] =

a

La funci´n K(x, t) se suele denominar n´cleo de la transformaci´n y a F (t) transformada de
o
u
o
la funci´n f . Una propiedad inmediata de ´stas transformadas es que son lineales, esdecir,
o
e
cuales quiera sean los n´ meros α y β y las funciones f (x) y g(x) de R [a,b] ,
u
T [αf + βg] = αT [f ] + βT [g].

8.2.

La transformada integral de Laplace

Vamos a introducir ahora una transformada integral de especial importancia: la transformada de Laplace
 

Definici´n 8.2.1 Sea f una funci´n definida en [0, ∞). La transformada de Laplace
o
o
F(t) es la transformadaintegral
∞

 

F(t) = [f ](t) =

e−tx f (x)dx,

[f ] o

(8.2.1)

0
1

Es similar a la idea que llev´ a la apariaci´n de los logaritmos. O sea, convertir una operaci´n “complicada”
o
o
o
en otra m´s “sencilla” para luego, al invertir dicha operaci´n obtener el resultado. Es f´cil comprobar que
a
o
a
multiplicar dos n´ meros cualesquiera es mucho m´s complicado que sumarlos,de ah´ la utilidad e importancia
u
a
ı
que tuvieron las primeras tablas de logaritmos.
2
Un funcional no es m´s que una funci´n definida sobre el espacio de funciones
a
o

153

154

Introducci´n a las EDOs
o

donde la integral se entiende en el sentido impropio, o sea
∞

z

e−tx f (x)dx = l´
ım

z→∞ 0

0

e−tx f (x)dx.

Antes de continuar debemos tener en cuentaque esta integral a diferencia de la transformada T [f ] anterior puede no estar definida para ciertas funciones continuas pues aunque
z
exista la integral 0 e−tx f (x)dx para todo z puede que el l´
ımite no exista, o bien, que exista
no para todo t ∈ R. Por ejemplo,

 1
∞
2
2
, t>a
ex −tx dx = ∞, ∀t ∈ R.
,
[eax ](t) =
[ex ](t) =
t−a
 ∞,
0
s≤a
 

 

Una pregunta natural espor tanto que clase de funciones tienen transformadas de Laplace.
En este curso nos restringiremos a las funciones de orden exponencial.

Definici´n 8.2.2 Diremos que una funci´n f es de orden exponencial si existen dos conso
o
tantes no negativas c y M tales que |f (x)| ≤ M ecx para todo x ≥ 0.
Teorema 8.2.3 Si f es una funci´n continua a trozos de orden exponencial entonces f tiene
otransformada de Laplace para todo t suficientemente grande.
Demostraci´n: Tenemos, para t > c,
o
|e−tx f (x)| = e−tx |f (x)| ≤ M e−tx+cx = M e−x(t−c).
Pero la integral
∞

z

e−x(t−c) dx = l´
ım

z→∞ 0

0

e−x(t−c)dx = l´ M
ım
z→∞

e(c−t)z−1
M
=
,
c−t
t−c

luego por el criterio de comparaci´n de Weierstrass para las integrales impropias la integral
o
∞ −tx
f (x)dx esabsolutamente convergente, y por tanto converge. N´tese adem´s que de
o
a
0 e
la prueba se deduce que la transformada de Laplace existe para todo t > c.
La siguiente tabla de Transformadas de Laplace es de gran inter´s. En ella est´n las
e
a
principales transformadas de Laplace que usaremos incluida la de la funci´n escal´n χ c (s)
o
o
definida como 1 si x ∈ [0, c] y 0 en el resto.
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