La transformada z

La transformada z

Oscar Reneé Muñoz Arias
Escuela de Post-Grado UNJBG, oscarmunar@hotmail.com

Este documento es una presentación de la herramienta matemática denominada transformada z que puede ser usada como guía introductoria a estudios particulares en temas de la ingeniería de telecomunicaciones donde la aplicación de esta herramienta es fundamental para el desarrollo de sistemas decontrol digital y que también puede ser extendida muchos sistemas sociales y económicos que pueden describirse con modelos de datos discretos. El presente artículo se desarrolla desde un concepto formal, detalle de propiedades, aplicaciones relacionadas que se utilizan en soluciones ejemplo que se indican. El propósito del presente artículo es permitir a la comunidad de educandos de la escuela dePost –Grado manejar el concepto y fundamento de las tecnologías utilizadas por las telecomunicaciones en el dominio discreto.

This document is a presentation of the mathematical tool called Z transform can be used as an introductory guide to special studies in areas of telecommunications engineering where the application of this tool is essential for the development of digital control systems andcan also be extended many social and economic systems that can be described by discrete data models. This article is developed from a formal concept, details of properties related applications used in such solutions as indicated. The purpose of this article is to enable the community of learners in the school of Post Graduate handle the concept and foundation of the technologies used bytelecommunications in the discrete domain

Palabras clave — transformada, discreto, transformada inversa, función de transferencia.
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Introducción
L
A transformada Z es una herramienta clásica empleada básicamente, para describir, analizar y resolver sistemas discretos, definidos por una ecuación en diferencias de tipo finito. Formalmente la transformada z, es una generalización de latransformada de Fourier. Aunque las propiedades de ambas transformadas son semejantes, la transformada z permite trabajar con un conjunto más amplio de secuencias y da lugar a expresiones más fáciles de manipular y de interpretar. En la práctica la transformada z se emplea, básicamente, como forma compacta de describir y resolver sistemas discretos definidos por una ecuación en diferencias finitas. Eneste sentido, su función es equivalente a la que cumple la transformada de Laplace en los sistemas analógicos caracterizados por ecuaciones diferenciales.

A continuación se definen el concepto formal y su convergencia, así como también sus propiedades.
DEFINICION y PROPIEDADES

La transformada z de una secuencia xn es la función de variable compleja Xz definida como:

Xz=Zxn=n=-∞∞xnz-n(1)

Al contrario de lo que sucede con la transformada de Fourier, la convergencia de la serie de potencias que define la transformada no depende sólo de la secuencia x[n], sino también del valor de la variable compleja z. Dada una secuencia, al conjunto de valores de z para los cuales la serie de potencias converge uniformemente se le denomina región de convergencia (ROC) de la transformadaz:

z ϵ ROC n=-∞∞xnz-n= n=-∞∞xnz-n<∞ (2)

Obsérvese que la convergencia es función del módulo de z. En particular, si r1 y r2 son los valores reales mínimo y máximo, respectivamente, que acotan exponencialmente la secuencia x[n] de tal forma que:

xn≤A1r1n n≥0

xn≤A2r2n n<0

Para un determinado valor de A1 y A2, el sumatorio correspondiente a la parte causal de x[n]n=0∞xnz-n≤A1n=0∞zr1-n=A1n=0∞r1zn


Converge si el módulo de z es mayor que r1, mientras que el sumatorio correspondiente a la parte anticausal de x[n]

n=-∞-1xnz-n≤A2n=-∞-1zr2-n=A2n=1∞zr2n

Converge si el módulo de z es inferior a r2. Por lo tanto, si r1 < r2 la región de convergencia es r1 < z < r2; en caso contrario la secuencia no tiene transformada z.

Dado que la variable...