La Transformada Z

DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON
LA TRANSFORMADA DE
FOURIER EN TIEMPO
DISCRETO.
 Una generalización de la Transformada de Fourier es la
transformada Z.

Ventajas de la Transformada Z
 La Transformada de Fourier no converge para todas las
secuencias
 La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas
analíticos, el manejo de su notación, expresiones y
álgebra es con frecuencia más conveniente
El empleo de la transformada Z en señales discretas
tiene su equivalente en la transformada de Laplace para
señales continuas y cada una de ellas mantiene su
relación correspondiente con la transformada de
Fourier.
 El empleo de la transformada Z en señales discretas
tiene su equivalente en la transformada de Laplace para
señales continuas y cada una de ellas mantiene su
relación correspondientecon la transformada de
Fourier.

Transformada de Fourier

j

x ( )  X ( e ) 



 x( k )e

 j k

k 

La transformada de la misma
secuencia tambien se define
como
Segun la variable
compleja continua z

X ( z) 

ze



x(k ) z  k

k 

Z  x( k )   X ( z ) 

La correspondencia entre una secuencia y
su transformada se denota como:

La transformada de Fourier es X ( z )
jsimplemente con





 x(k ) z

k

k 

x(k )  X ( z )

La transformada de Fourier es
la transformada Z tomando Z  1

Tenemos una velocidad angular
Que implica magnitud y direccion
Si tomamos

X (re j ) 

z  re j


 x(k )(re  )
j

k

k 
j

X ( re ) 



 x(k )(r

k 

k

)e  j k

La transformada evaluada en los puntos
de dicha circunferencia es la transformada
de Fourier .REGION DE
CONVERGENCIA
La convergencia de la transformada Z
depende solamente de
entonces:





x(k ) z

z
k

p

k 

Los valores sobre la
circunferencia z  z definida
como están dentro de la región
de convergencia.
1

La región en donde se cumple
la desigualdad es la región de
convergencia.
Im

R e

La transformada Z es una función
analítica en todos los puntos de la
región de convergencia; deaquí que
la transformada Z y todas sus
derivadas con respecto a
son
funciones continuas en dicha región.

PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA Z
La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de
ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente
manipulaciones algebraicas.
a) SUPERPOSICIÓN
Se compone de las
características de:
1)Homogeneidad:

f (k )  F ( z )
af (k )  aF ( z )2)Aditividad:

f1 (k )  F1 ( z )
f 2 (k )  F2 ( z )

f1 (k )  f 2 (k )  F1 ( z )  F2 ( z )

si:

f (k )  af1 (k )  bf 2 (k )

la transformada Z es:

Z  f (k )  Z  af1 (k )  bf 2 (k )   Z  af1 (k )   Z  bf 2 (k ) 

 F ( z )  aF1 ( z )  bF2 ( z )
b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO)
La respuesta del sistema se define por:

y ( k )  f ( k  m) k  0
La transformada de la saliday(k) se define a su vez
como: nota: se sustituye el valor de Yk en la formula


Y ( z )   y (k ) z
k 0

k



Y ( z )   f ( k  m) z  k
k 0

Desarrollando:

Y ( z )  f (0) z  m  f (1) z  m 1  f (2) z  m 2
 z  m  f (0)  f (1) z 1  f (2) z 2  ...
La representación en diagrama de bloques para la propiedad de
corrimiento a la derecha se muestra abajo:

Y(k) sustituido

C)PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN
Para el siguiente sistema:

Su salida y(k )  Y ( z ) se define
como una suma de convolución:

y (k )  h(0) f (k )  h(1) f (k  1)  ....  h( k  1) f (1)  h(k ) f (0)
Quedando: Y ( z ) 



k
h
(0)
f
(
k
)

h
(1)
f
(
k

1)

h
(2)
f
(
k

2)

...

h
(
k
)
f
(0)
z



k 0









k
Factorizando: Y ( z )  h(0) f (k ) z  h(1) f (k  1) z  h(2) f (k 2) z  ...  h(k ) f (0)z
k 0

k

k 0

k

k

k 0

k 0

1
2
k
La transformada queda: Y ( z )  h(0) F ( z )  h(1) z F ( z )  h(2) z F ( z )  ....  h(k ) z F ( z )

Factorizando F ( z ) :

Y ( z )   h(0)  h(1) z 1  h(2) z 2  ....  h(k ) z  k F ( z )
Y ( z )  H ( z ) F ( z )

D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN”

Sean las secuencias

f (k )  F ( z ) y

g (k )  G ( z )

si...