la vida

1)usando el teorema del valor medio buscamos el punto medio de la recta entre los puntos (1,1) y (4,2) y que ademas ese punto corresponte al de una recta tangente en esa curva de la funcion,


i)El teorema del valor medio es igual a
$$f`(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
el que corresponde a la pendiente de esta recta


ii) La derivada de f(x) es
$$f`(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
el quecorresponde a la pendiente de la recta tangente de una funcion


iii) ahora buscamos un punto en comun para determinar nuestro punto medio entre esos dos puntos (1,1) y (4,2) y que ademas concuerda con elpunto de una recta tangente a la curva de la funcion


$$f`(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
$$\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{2-1}{4-1}$$
$$\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{3}$$
$$3=2\sqrt{c}$$$$\frac{3}{2}=\sqrt{c} /()^2$$
$$(\frac{3}{2})^2=c$$
$$\frac{9}{4}=c$$
Ahora tenemos nuestra c = $$x=\frac{9}{4}$$ y $$f(\frac{9}{4})=\frac{3}{2}$$
que son las coordenadas de los putos medios
ahora calculamosla recta sabiendo que $$\frac{1}{3}$$ es la pendiente de la recta
$$y-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}(x-\frac{9}{4})$$
$$y=\frac{1x}{3}+\frac{-9}{12}+\frac{3}{2}$$
$$y=\frac{1x}{3}+\frac{3}{4}$$}

1)$$f'(c)={\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
$$m=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$$
$$f'(c)=\frac{1}{3}$$
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{3}$$
$$2\sqrt{x}=3$$
$$\sqrt{x}\frac{3}{2}$$$$x=\frac{9}{4}=C$$
Para obtener el y solo debemos reemplazar en:
$$f(x)=\sqrt$$
$$y=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente en el punto(9/4,3/2) y paralela ala rectaque pasa por (1,1) y(4,2)=
$$y-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}(x-\frac{9}{4})$$
$$y=\frac{1x}{3}+\frac{3}{4}$$

1. Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar100m3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m. si el espesor disminuye a razón de 10cm/h en el instante en que r=50m.
2. El volumen del cilindro...