LABORATORIO 2.2, MODELOS DE POBLACIÓN DE ESPECIES COOPERATIVAS Y EN COMPETENCIA

LABORATORIO 2.2
MODELOS DE POBLACIÓN DE ESPECIES COOPERATIVAS Y EN
COMPETENCIA

MATEMÁTICAS IV
PEREIRA
2015

MODELOS DE POBLACIÓN DE ESPECIES COOPERATIVAS Y EN
COMPETENCIA

El objetivo de estelaboratorio es estudiar otros dos tipos de sistemas:
cooperativos y competitivos. Los sistemas competitivos son aquellos en los que
ambas especies se ven dañadas por la interacción, por ejemplo,automóviles y
peatones. Un sistema cooperativo es uno en el que ambas especies se benefician
de la interacción, por ejemplo, abejas y flores. El objetivo es entender lo que
sucede en ambos sistemas bajo todaslas posibles condiciones iniciales no
negativas.

Para el siguiente par de sistemas cooperativos y competitivos determinar:

A.

𝑑𝑥
𝑑𝑡

= −5𝑥 + 2𝑥𝑦

𝑑𝑦
= −4𝑦 + 3𝑥𝑦
𝑑𝑡

B.

𝑑𝑥
𝑑𝑡

= 6𝑥 − 𝑥 2 − 4𝑥𝑦

𝑑𝑦
=5𝑦 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2
𝑑𝑡

1. un breve análisis de todos los términos en cada sistema. por ejemplo, ¿qué
representa el coeficiente del término 𝒙 en la ecuación de

𝒅𝒙
𝒅𝒕

representar?

¿Cuál sistema escooperativo y que es competitiva?

2. para cada sistema, determine todos los puntos de equilibrio pertinentes y
analice el comportamiento de las soluciones cuyas condiciones iniciales
satisfacen ya sea 𝒙𝟎= 𝟎 o 𝒚𝟎 = 𝟎. Determinar las curvas en el plano de fase a
lo largo del cual el campo vectorial es horizontal o vertical.
¿en qué dirección señala el campo vectorial a lo largo de esas curvas?
3. Paracada sistema describa todas las posibles evoluciones de la población,
usando el retrato fase así como las graficas 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡)

Analizaremos el sistema A igualando las variables a Cero

𝑑𝑥
= −5𝑥 +2𝑥𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −4𝑦 + 3𝑥𝑦
𝑑𝑡
Si 𝑥 = 0

𝑑𝑥
= −5(0) + 2(0)𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −4𝑦 + 3(0)𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −4𝑦
𝑑𝑡

Si 𝑦 = 0

𝑑𝑥
= −5𝑥 + 2𝑥(0)
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= −5𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −4(0) + 3𝑥(0)
𝑑𝑡
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑡

Analizaremos el sistema Bigualando las variables a Cero

𝑑𝑥
= 6𝑥 − 𝑥 2 − 4𝑥𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 5𝑦 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2
𝑑𝑡

Si 𝑥 = 0

𝑑𝑥
= 6(0) − (0)2 − 4(0)𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=0
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 5𝑦 − 2(0)𝑦 − 2𝑦 2
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 5𝑦 − 2𝑦 2
𝑑𝑡
Si 𝑦 = 0

𝑑𝑥
= 6𝑥 − 𝑥 2 −...