Lagrange

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El método de Multiplicadores de Lagrange dice que dadas f : U ⊂ Rn → R y g : U ⊂ Rn → R dos funciones con valores reales de clase C 1 (U ), con x0 ∈ U , g(x0 ) = c y S = {x ∈ Rn :g(x) = c}. Asumiendo que ∇g(x0 ) 6= 0. Si frestrigida a S tiene un máximo y/o mínimo relativo en x0 ∈ S, entonces existe un número real λ tal que
∇f (x0 ) = λ∇g(x0 )El Método de los Multiplicadores de Lagrange nos permite encontrar los puntos x ∈ Rn que optimizan (producen máximos y/o mínimos) una función dada f (x), sujeta a la restricción g(x) = 0. Esta ideaes esencialmente la extension natural del metodo usual para fun-ciones de una variable, buscar máxinos y/o mínimos entre sus puntos criticos, es decir, los puntos x en que f 0 (x) = 0. En este casoconsideramos F (x) =
f (x) − λg(x). Es claro que max F (x) = max f (x). Asi basta buscar valores de x and λ en los cuales ∇F = 0, es decir,

∇f (x) =λ∇g(x)

Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:
g(x,y) = c,donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas porf(x,y) = dn para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serándistintas, y la curva g = c por lo general intersecará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, elcontorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos deinflexión restringidos de f.
Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo...