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Prof. Susana López

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Universidad Autónoma de Madrid

Tema 6: Funciones Implícitas
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Función Implícita

Como todas las nociones que hemos venido estudiando hasta ahora, el contenido geométrico
del Teorema de la Función Implícita es claro y sencillo. Imaginar el gráfico de una función
f : R2 → R.
Por ejemplo f (x, y) = −27x2 + 4y 3 . Su aspecto es el de una superficie en R3 . Pensarahora
en la intersección de esa superficie con el plano z = 0.

20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-2

-1

0

y

1

2

32

0x

-2

y

-2

5
4.5
4
3.5

-1

3
2.5

0x

2
1.5
1

1

0.5
0

-2

-1

0

y

2

1

2

3

−27x + 4y = 0

3

2

-4 -3.5-3 -2.5-2 -1.5-1 -0.50

0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4
x

2

3

−27x + 4y =0

El dibujo que se obtiene sobre ese plano (o cualquier otro plano horizontal) es el de una
curva. Esa curva yace en el plano xy. Sus puntos verifican la ecuación f (x, y) = 0. Nos paramos
a pensar ahora en un punto de esa curva, digamos (a, b). En un entorno de (a, b) tenemos
una descripción de la curva: ésta comprende a todos los puntos (x, y) tales que f (x, y) = 0.
Sin embargo, estaecuación es implícita puesto que no muestra claramente cómo despejar y
en función de x ni x en función de y. Una ecuación explícita sería de la forma y = g(x)
o x = h(y). Cualquiera de estas dos ecuaciones sería preferible a la implícita puesto que
siempre una ecuación explícita puede transformase en una implícita de manera trivial poniendo

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f (x, y) = y −g(x) (ox−h(y), según corresponda). La pregunta es entonces: ¿cuándo es posible
encontrar una función que describa explícitamente y en función de x o x en función de y en un
entorno de (a, b)?
La importancia de este teorema radica en la posibilidad de calcular la diferencial en un
punto (a, b) de una función sin conocerla explícitamente. Esto permitirá por ejemplo, obtener
una evaluación aproximada de lafunción en el punto.
Teorema 1 (Teorema de la Función Implícita) Supongamos que F : R2 → R tiene las
primeras derivadas parciales continuas. Si en un punto (x0 , y0 ) ∈ R2 tal que F (x0 , y0 ) = 0 y
∂F
(x0 , y0 ) 6= 0
∂y
entonces existe un entorno abierto U de x0 y un entorno abierto V de y0 tal que existe una
única función f : V → U para la cual:
F (x, f (x)) = 0
para todo x ∈ U , dondey0 = f (x0 ) y f (x) es continuamente diferenciable:
df
dy
Fx
=
= − (x, y)
dx dx
Fy
para todo x ∈ U e y ∈ V .
Ejemplo:
Sabemos que las variables (x, y) están relacionadas mediante la siguiente ecuación implícita:
x3 + xy − y 3 = 0
los puntos (x, y) que verifican esta escuación representan una curva en el plano,
y

1

0.5

0
-1

-0.5

0

0.5

1
x

-0.5

-1

x3 + xy− y 3 = 0
Despejar en la ecuación anterior la variable y en función de x es bastante complicado y en
algunos casos no se podrá realizar. Para aquellas regiones de la curva donde se puede ver a la
dy
variable y como una función de x, y (x) , nos gustaría calcular la derivada dx :

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Podemos hacerlo de dos maneras, derivando implícitamente la expresión anterior:
3x2 +y + x
despejando

dy
dx

dy
dy
− 3y 2
=0
dx
dx

obtenemos:
3x2 + y
dy
= 2
dx 3y − x

o bien definimos la función F (x, y) = x3 + xy − y 3 y aplicamos el teorema de la función
implícita:
Fx = 3x2 + y
Fy = −3y 2 + x
3x2 + y
3x2 + y
Fx
dy
=−
= 2
= −
dx
Fy
x − 3y 3
3y − x
dy
Ahora bien, está derivada dx solo podrá aplicarse en aquellos puntos para los cuales Fy =
−3y2 + x 6= 0. Es decir, a través del teorema de la función implícita podemos decir que la
ecuación x3 + xy − y 3 = 0 definie a y como una función de x, de forma implícita en aquellos
puntos donde −3y 2 + x 6= 0. Para esos puntos sabemos que existe una función y = f (x) tal que

F (x, f (x)) = 0 y f 0 (x) =

dy
dx

El teorema anterior se puede generalizar para funciones de más...