Laplace

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA APLICADA 1

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Durante esta primera parte del curso, revisaremos Los conceptos elementales de la TRANSFORMADA DE LAPLACE: La Transformada de Laplace como su nombre lo indica, simplemente es una herramienta para efectuar una transformación de una función, ya en cursos como MB1se estudiaron algunas transformaciones de funciones como alargamiento, encogimiento, corrimiento vertical u horizontal, esta nueva herramienta realizará una transformación de una función pero en otra nueva función con una variable distinta, cambiando la función con variable independiente “t” de una función nueva cuya variable será “s”. Esta transformación servirá para resolver ecuacionesdiferenciales pero simplemente con el algebra, ya que una ecuación diferencial a través de la transformada de Laplace la convierte en una ecuación algebraica.

L
Hay que tener en cuenta que se está realizando una transformación de función y las dos funciones (la original y la transformada) las estamos identificando con la letra “f”, entonces utilizaremos la letra minúscula para la función original cuyavariable es “t” y y la letra mayúscula para la función transformada cuya variable es “s” . A continuación mostraremos un ejemplo: EJEMPLO 1: Calcular la transformada de Laplace de la función note que es una función constante. Entonces en debemos de saber que

L
entonces tendríamos lo siguiente:

L

,

dicha integral impropia la

resolvemos con el siguiente procedimiento (de intermedia1)

DEFINICIÓN
Para nuestra conveniencia, usaremos únicamente la integral impropia que calcula la transformada de Laplace de una función el limite por ser integral impropia.

,

siendo esta

si dicha integral es

convergente, lo hará en obteniendo así la transformada de Laplace de la función, se puede representar asi:

MA. Ing. Juan Orlando López

MSC. Ing. Renaldo Girón AlvaradoMA. Ing. Carlos Alberto Garrido López

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Note que si ; y eso puede ser si contrario la integral sería divergente. En conclusión diríamos que L

de lo
1 2

f(t) K t t
n at

L {f(t)} = F(s) k/s 1/s n!/s
2

.
VISITE LOS SIGUIENTES

3 4 5 6

n+1

NOTA:
LINKS:

PARA VEROTROS EJERCICIOS

e

1/ s-a a/ s + a s/ s + a a/ s - a s/ s - a
2 2 2 2 2

sen at cos at senh at cosh at

2

http://www.youtube.com/watch?v=haBLD96vlE8&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=lwyRp2k3JqU&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=lOq5dRDFWNI&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=vztTJHTTKwY&feature=related

7 8

2

2

Ejemplos:
Determinar la transformada de lassiguiente función:

TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS
Afortunadamente cuando se desee calcular la transformada de una función no siempre será integrar, ya existen tablas de funciones frecuentemente usadas que podemos utilizar, en la siguiente tabla mostramos las transformadas de las funciones básicas más frecuentadas. CON LA SIGUIENTE TABLA Y UN MUY BUEN MANEJO DEL ALGEBRA PODEMOSENCONTRAR LA TRANSFORMADA DE MUCHAS FUNCIONES. (SE MUESTRAN EJEMPLOS A CONTINUACIÓN) MA. Ing. Juan Orlando López

L L 4*L
4* +16*L + 16* +

Aplicando

productos

notables

Aplicando propiedad de linealidad

+L

por medio de la tabla

obteniendo el siguiente resultado

IMPORTANTE LA MANIPULACIÓN DEL ALGEBRA PARA ESTE TEMA

MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado

MA. Ing. Carlos AlbertoGarrido López

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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
El procedimiento con el que se encontrará una transformada inversa será por simple inspección, eso quiere decir que si sabemos que

Ejemplo: Calcular L

-1

La parte importante desde donde podremos

L

entonces podremos concluir...