Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE
EDUARDO MARTÍNEZ

Estudiamos en este capítulo la transformación de Laplace, que es un método para asociar a una functión f otra función F distinta, llamada transformada de Laplace de f . Una de sus principales virtudes es que transforma ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas, por tanto fáciles de resolver. Una vez resuelta dicha ecuación algebraicase hallará la antitransformada obteniendose la solución de la ecuación diferencial. La transformada de Laplace de una función f viene dada por medio de una integral impropia dependiente de un parámetro (la variable de la cual depende la función F ), por lo cual la teoría está llena de complicaciones técnicas. Por esta razón, y teniendo en cuenta las aplicaciones de la teoría que necesitamos,podemos restringirnos a una clase de funciones sencillas, las funciones de orden exponencial. En principio, y dado que las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son funciones continuas, podríamos restringirnos a funciones continuas. Sin embargo, nos interesa estudiar ecuaciones con impulsos, que como vimos, hacen que la solución cambie bruscamente y sea discontinua.Es por esto por lo que trataremos funciones continuas a trozos. 1. Transformada de Laplace Consideremos el conjunto Ω formado por las funciones de una variable real t con valores en C cuyo dominio contiene los reales positivos y un entorno del cero y son continuas a trozos (es decir, las discontinuidades de la función son de salto finito y el conjunto de puntos de discontinuidad no tiene puntos deacumulación finitos, o lo que es lo mismo, en cada intervalo compacto hay un número finito de discontinuidades de salto finito). A todos los efectos se considerarán como iguales dos funciones continuas a trozos que coincidan en [0, ∞) salvo en sus puntos de discontinuidad. Si se prefiere, podemos trabajar con clases de equivalencia de funciones que coinciden salvo en un conjunto sin puntos deacumulación finito. En consecuencia, en un punto de discontinuidad, no tiene sentido hablar de f (a) sino de f (a+ ) y f (a−). Definición 1.1: Dada una función f ∈ Ω llamamos transformada de Laplace de f a la función F definida por F (s) =
0 ∞

f (t) e−st dt.

Se utiliza frecuentemente la notación F = L(f ) o también L(f (t)) = F (s). Evidentemente, el dominio de la función F es el campo deconvergencia de la integral anterior. Nótese que F es una función compleja de variable real. Ejemplo 1.2: Consideremos la función f (t) = 1, es decir f (t) = 1 · H(t) = H(t). Su transformada de Laplace es F (s) =
0 ∞

1 e−st dt

Para hallar la integral anterior debemos distinguir varios casos según el valor de s.
1

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EDUARDO MARTÍNEZ

• Si s = 0, • Si s > 0, F (s) =
0

F (0) =
0 ∞

∞1 e0 dt =
0

∞

1 dt = ∞. 1 1 1 − lim e−st = . t→∞ s s

1 1 e−st dt = − e−st s
∞ 0

t=∞ t=0

=

• Si s < 0, F (s) =

1 e−st dt =

1 1 − lim e−st = ∞. t→∞ s

Por tanto, la transformada de Laplace de f (t) es F (s) = 1/s, definida en (0, ∞). Ejercicio 1.3: Comprobar que, para a ∈ R, la transformada de Laplace de f (t) = eat es F (s) = 1/(s − a), definida en el intervalo (a, ∞).¿Qué ocurre si a es un número complejo? Los dos ejemplos anteriores muestran una característica común; a saber, el dominio de la transformada es un intervalo semiinfinito. Esto es una propiedad que se satisface en muchas ocasiones. Proposición 1.4: Si la integral que define la transformada de Laplace de una función es absolutamente convergente para un cierto valor s = γ entonces también es convergentepara todo s en el intervalo (γ, ∞). Dem. Si s > γ, entonces e−st ≤ e−γt , para todo t ≥ 0, de donde
∞ 0

|f (t) e−st | dt ≤

∞

0

|f (t) e−γt | dt.

Como la integral de la derecha converge, la integral de la izquierda también. Nótese que hay funciones para las que el campo de convergencia de la integral 2 ∞ 2 es vacio. Por ejemplo, si f (t) = et entonces la integral 0 et −st es...