Laplaciano esféricas
Edwin A. Urbina
edwin.urbina@ucr.ac.cr
Problema. Transformar la ecuaci´
on tridimensional de Laplace de su forma cartesiana a su forma esf´erica.
Soluci´
on.
Del tri´
angulo OP Q,
z = r cos(φ)
(1)
x = ρ cos(θ)
(2)
Del tri´
angulo ORP ,
y = ρ sin(θ)
⇒ρ=
x2
+
y
tan(θ) =
x
⇒ θ = arctan
(3)
y2
(4)
y
x
(5)
Del tri´
angulo OP P ,
ρ = rsin(φ)
ρ
tan(φ) =
z
Pero, de (4), ρ =
(6)
x2 + y 2 . Entonces,
tan(φ) =
⇒ φ = arctan
x2 + y 2
z
x2 + y 2
z
(7)
Introduciendo (6) en (2) y (3):
x = r sin(φ) cos(θ)
(8)
y = r sin(φ) sin(θ)
(9)
x2 + y 2 + z 2
(10)
La magnitud r viene dada por
r=
Luego, las ecuaciones (1), (8) y (9) dan las coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) del punto cartesiano (x, y, z).
Las ecuaciones (5), (7) y (10)expresan, respectivamente, las variables θ, φ, r en t´erminos de x, y, z.
1
La ecuaci´
on diferencial parcial de Laplace para R3 se define como:
Uxx + Uyy + Uzz = 0
Desarrollando Uxx :
∂2U
∂x2
=
∂ ∂U
∂x ∂x
=
∂U ∂θ
∂U ∂φ
∂ ∂U ∂r
+
+
∂x ∂r ∂x
∂θ ∂x
∂φ ∂x
=
∂ ∂U ∂r
∂x ∂r ∂x
+
A
Desarrollando A:
A
=
=
∂ ∂U
∂x ∂r
∂ ∂U ∂θ
∂x ∂θ ∂x
+
∂ ∂U ∂φ
∂x ∂φ ∂x
B
C
∂r
∂U ∂ ∂r
+
∂x
∂r ∂x ∂x
∂Ur ∂θ∂Ur ∂φ
∂Ur ∂r
+
+
∂r ∂x
∂θ ∂x
∂φ ∂x
∂r
∂U ∂ ∂r
+
∂x
∂r ∂x ∂x
= Urr (rx )2 + Urθ θx rx + Urφ φx rx + Ur rxx
Similarmente,
B
=
Uθr rx θx + Uθθ (θx )2 + Uθφ φx θx + Uθ θxx
C
=
Uφr rx φx + Uφθ θx φx + Uφφ (φx )2 + Uφ φxx
Luego,
Uxx = Urr (rx )2 + Uθθ (θx )2 + Uφφ (φx )2 + 2Urθ rx θx + 2Urφ rx φx + 2Uθφ θx φx + Ur rxx + Uθ θxx + Uφ φxx
An´
alogamente,
Uyy = Urr (ry )2 + Uθθ (θy )2 + Uφφ (φy )2 +2Urθ ry θy + 2Urφ ry φy + 2Uθφ θy φy + Ur ryy + Uθ θyy + Uφ φyy
Uzz = Urr (rz )2 + Uθθ (θz )2 + Uφφ (φz )2 + 2Urθ rz θz + 2Urφ rz φz + 2Uθφ θz φz + Ur rzz + Uθ θzz + Uφ φzz
Entonces, el Laplaciano en coordenadas esf´ericas viene dado por:
Uxx + Uyy + Uzz
Urr [(rx )2 + (ry )2 + (rz )2 ] + Uθθ [(θx )2 + (θy )2 + (θz )2 ] + Uφφ [(φx )2 + (φy )2 + (φz )2 ]
+
2Urθ [rx θx + ry θy + rz θz ]+ 2Urφ [rx φx + ry φy + rz φz ] + 2Uθφ [θx φx + θy φy + θz φz ]
+
Ur [rxx + ryy + rzz ] + Uθ [θxx + θyy + θzz ] + Uφ [φxx + φyy + φzz ]
2
x2 + y 2 + z 2
r De (10), r =
rx =
x2 + y 2 + z 2 − √ x(2x)
2
2
2x
x
= ,
r
x2 + y 2 + z 2
2
2
rxx =
x2
+
y2
+
2
x +y +z 2
z2
=
r − xr
=
r2
r 2 −x2
r
r2
=
r 2 − x2
r3
Las derivadas ry , rz y ryy , rzz son an´
alogas a rx y rxx ,respectivamente:
z
,
r
y
θ De (5), θ = arctan
x
ry =
θx =
y
,
r
rz =
1
y 2
x
1+
·
(x2
θy =
+
1
2
y2 )
θyy = −
θz = 0 ,
+
1
=
x
2xy
(x2
2
y2 )
=
x2 +y 2
x2
= −θxx = −
r2 − z 2
r3
2ρ sin(θ)ρ cos(θ)
2 sin(θ) cos(θ)
=
ρ4
ρ2
ρ cos(θ)
cos(θ)
x
. Usando (2) y (4): θy =
=
2
2
+y
ρ
ρ
x2
2 sin(θ) cos(θ)
ρ2
θzz = 0
√
φ De (7), φ = arctan
1
φx =
rzz =
. Usando (2), (3) y (4): θxx=
y 2
x
x 1+
r2 − y2
,
r3
y
ρ sin(θ)
sin(θ)
(−y)
=− 2
. Usando (3) y (4): θx = −
=−
x2
x + y2
ρ2
ρ
2xy
θxx =
ryy =
1+
x2 +y 2
z2
·
x2 +y 2
z
2x
x2 + y 2
2z
z x2 + y 2 + z 2
φxx =
xz
=
(x2
+
y2
+ z2)
x2 + y 2 − xz 2x
(x2 + y 2 +
2
z2)
x2 + y 2
x2 + y 2 +
2x(x2 +y 2 +z 2 )
√
2
x2 +y 2
(x2 + y 2 )
Usando las ecuaciones (1), (2), (4) y (10), se tiene que:
ρ cos(θ)r cos(φ)cos(θ) cos(φ)
=
r2 ρ
r
φx =
r cos(φ)r2 ρ − ρ cos(θ)r cos(φ) 2ρ cos(θ)ρ +
φxx =
ρ cos(θ)r 2
ρ
r 4 ρ2
=
r2 cos(φ) − [2ρ2 cos(φ) + r2 cos(φ)] cos2 (θ)
r3 ρ
Las derivadas φy y φyy son an´
alogas a φx y φxx , respectivamente:
sin(θ) cos(φ)
,
r
φy =
φz =
1
1+
φzz =
x2 +y 2
z2
2z
(x2
·
φyy =
r2 cos(φ) − [2ρ2 cos(φ) + r2 cos(φ)] sin2 (θ)
r3 ρ
− x2 + y 2
x2 + y 2
=
−
z2
x2 + y 2 + z 2
x2 +y 2
2
+ y2 + z2 )
Usando las ecuaciones (1), (4) y (10), se tiene que:
φz = −
ρ
sin(φ)
. De (6): φz = −
,
2
r
r
φzz =
2r cos(φ)ρ
2ρ cos(φ)
2 sin(φ) cos(φ)
=
De (6): φzz =
4
3
r
r
r2
3
i. (rx )2 + (ry )2 + (rz )2 =
x2
y2
z2
x2 + y 2 + z 2
r2
+
+
=
=
=1
r2
r2
r2
r2
r2
ii. (θx )2 + (θy )2 + (θz )2 =
1
1
sin2 (θ) cos2 (θ)
1
+
+ 02 = 2 . Usando (6): 2 = 2 2
ρ2
ρ2
ρ
ρ
r sin (φ)
iii.
(φx...
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