Laplaciano esféricas

Laplaciano tridimensional en coordenadas esf´ericas
Edwin A. Urbina
edwin.urbina@ucr.ac.cr

Problema. Transformar la ecuaci´
on tridimensional de Laplace de su forma cartesiana a su forma esf´erica.
Soluci´
on.

Del tri´
angulo OP Q,
z = r cos(φ)

(1)

x = ρ cos(θ)

(2)

Del tri´
angulo ORP ,
y = ρ sin(θ)
⇒ρ=

x2

+
y
tan(θ) =
x

⇒ θ = arctan

(3)
y2

(4)

y
x

(5)

Del tri´
angulo OP P ,
ρ = rsin(φ)
ρ
tan(φ) =
z
Pero, de (4), ρ =

(6)

x2 + y 2 . Entonces,
tan(φ) =
⇒ φ = arctan

x2 + y 2
z
x2 + y 2
z

(7)

Introduciendo (6) en (2) y (3):
x = r sin(φ) cos(θ)

(8)

y = r sin(φ) sin(θ)

(9)

x2 + y 2 + z 2

(10)

La magnitud r viene dada por
r=

Luego, las ecuaciones (1), (8) y (9) dan las coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) del punto cartesiano (x, y, z).
Las ecuaciones (5), (7) y (10)expresan, respectivamente, las variables θ, φ, r en t´erminos de x, y, z.
1

La ecuaci´
on diferencial parcial de Laplace para R3 se define como:
Uxx + Uyy + Uzz = 0
Desarrollando Uxx :

∂2U
∂x2

=

∂ ∂U
∂x ∂x

=

∂U ∂θ
∂U ∂φ
∂ ∂U ∂r
+
+
∂x ∂r ∂x
∂θ ∂x
∂φ ∂x

=

∂ ∂U ∂r
∂x ∂r ∂x

+

A

Desarrollando A:
A

=

=

∂ ∂U
∂x ∂r

∂ ∂U ∂θ
∂x ∂θ ∂x

+

∂ ∂U ∂φ
∂x ∂φ ∂x

B

C

∂r
∂U ∂ ∂r
+
∂x
∂r ∂x ∂x

∂Ur ∂θ∂Ur ∂φ
∂Ur ∂r
+
+
∂r ∂x
∂θ ∂x
∂φ ∂x

∂r
∂U ∂ ∂r
+
∂x
∂r ∂x ∂x

= Urr (rx )2 + Urθ θx rx + Urφ φx rx + Ur rxx
Similarmente,
B

=

Uθr rx θx + Uθθ (θx )2 + Uθφ φx θx + Uθ θxx

C

=

Uφr rx φx + Uφθ θx φx + Uφφ (φx )2 + Uφ φxx

Luego,
Uxx = Urr (rx )2 + Uθθ (θx )2 + Uφφ (φx )2 + 2Urθ rx θx + 2Urφ rx φx + 2Uθφ θx φx + Ur rxx + Uθ θxx + Uφ φxx
An´
alogamente,
Uyy = Urr (ry )2 + Uθθ (θy )2 + Uφφ (φy )2 +2Urθ ry θy + 2Urφ ry φy + 2Uθφ θy φy + Ur ryy + Uθ θyy + Uφ φyy
Uzz = Urr (rz )2 + Uθθ (θz )2 + Uφφ (φz )2 + 2Urθ rz θz + 2Urφ rz φz + 2Uθφ θz φz + Ur rzz + Uθ θzz + Uφ φzz

Entonces, el Laplaciano en coordenadas esf´ericas viene dado por:

Uxx + Uyy + Uzz


Urr [(rx )2 + (ry )2 + (rz )2 ] + Uθθ [(θx )2 + (θy )2 + (θz )2 ] + Uφφ [(φx )2 + (φy )2 + (φz )2 ]




+

2Urθ [rx θx + ry θy + rz θz ]+ 2Urφ [rx φx + ry φy + rz φz ] + 2Uθφ [θx φx + θy φy + θz φz ]


+



Ur [rxx + ryy + rzz ] + Uθ [θxx + θyy + θzz ] + Uφ [φxx + φyy + φzz ]

2

x2 + y 2 + z 2

r De (10), r =
rx =

x2 + y 2 + z 2 − √ x(2x)
2
2

2x

x
= ,
r
x2 + y 2 + z 2

2

2

rxx =

x2

+

y2

+

2

x +y +z 2

z2

=

r − xr
=
r2

r 2 −x2
r
r2

=

r 2 − x2
r3

Las derivadas ry , rz y ryy , rzz son an´
alogas a rx y rxx ,respectivamente:
z
,
r
y
θ De (5), θ = arctan
x
ry =

θx =

y
,
r

rz =

1
y 2
x

1+

·

(x2

θy =

+
1

2
y2 )

θyy = −
θz = 0 ,

+

1

=
x

2xy
(x2

2
y2 )

=

x2 +y 2
x2

= −θxx = −

r2 − z 2
r3

2ρ sin(θ)ρ cos(θ)
2 sin(θ) cos(θ)
=
ρ4
ρ2

ρ cos(θ)
cos(θ)
x
. Usando (2) y (4): θy =
=
2
2
+y
ρ
ρ

x2

2 sin(θ) cos(θ)
ρ2

θzz = 0
√

φ De (7), φ = arctan
1

φx =

rzz =

. Usando (2), (3) y (4): θxx=

y 2
x

x 1+

r2 − y2
,
r3

y
ρ sin(θ)
sin(θ)
(−y)
=− 2
. Usando (3) y (4): θx = −
=−
x2
x + y2
ρ2
ρ

2xy

θxx =

ryy =

1+

x2 +y 2
z2

·

x2 +y 2
z

2x
x2 + y 2

2z

z x2 + y 2 + z 2
φxx =

xz

=
(x2

+

y2

+ z2)

x2 + y 2 − xz 2x
(x2 + y 2 +

2
z2)

x2 + y 2
x2 + y 2 +

2x(x2 +y 2 +z 2 )

√

2

x2 +y 2

(x2 + y 2 )

Usando las ecuaciones (1), (2), (4) y (10), se tiene que:
ρ cos(θ)r cos(φ)cos(θ) cos(φ)
=
r2 ρ
r

φx =

r cos(φ)r2 ρ − ρ cos(θ)r cos(φ) 2ρ cos(θ)ρ +
φxx =

ρ cos(θ)r 2
ρ

r 4 ρ2

=

r2 cos(φ) − [2ρ2 cos(φ) + r2 cos(φ)] cos2 (θ)
r3 ρ

Las derivadas φy y φyy son an´
alogas a φx y φxx , respectivamente:
sin(θ) cos(φ)
,
r

φy =

φz =

1
1+

φzz =

x2 +y 2
z2

2z
(x2

·

φyy =

r2 cos(φ) − [2ρ2 cos(φ) + r2 cos(φ)] sin2 (θ)
r3 ρ

− x2 + y 2
x2 + y 2
=
−
z2
x2 + y 2 + z 2

x2 +y 2
2

+ y2 + z2 )

Usando las ecuaciones (1), (4) y (10), se tiene que:
φz = −

ρ
sin(φ)
. De (6): φz = −
,
2
r
r

φzz =

2r cos(φ)ρ
2ρ cos(φ)
2 sin(φ) cos(φ)
=
De (6): φzz =
4
3
r
r
r2
3

i. (rx )2 + (ry )2 + (rz )2 =

x2
y2
z2
x2 + y 2 + z 2
r2
+
+
=
=
=1
r2
r2
r2
r2
r2

ii. (θx )2 + (θy )2 + (θz )2 =

1
1
sin2 (θ) cos2 (θ)
1
+
+ 02 = 2 . Usando (6): 2 = 2 2
ρ2
ρ2
ρ
ρ
r sin (φ)

iii.
(φx...