Laplaciano

CALCULO DIFERENCIA E INTEGRAL II

TEMA Nº 8 (Ultima actualización 24/10/2003)

DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE

Sea F una región de área A del plano “xy”, F incluye su frontera (Región Cerrada).
Subdividimos al plano “xy” en rectángulos mediante rectas paralelas a los ejes de coordenadas (figura 1).
Partiendo de algún lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F),numeramos sistemáticamente todos los rectángulos que están dentro de F.
Supongamos que hay “n” de tales rectángulos y los designamos con r1, r2,....rn.

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y
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r1
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r2 r3
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r4 r5 .. . . F
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.. .. .. .. ..
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.. .. .. .. ..
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rn
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x
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Figura 1

Utilizamos los símbolos A(r1), A(r2),...., A(rn) para las áreas de estos rectángulos.
El conjunto de los n rectángulos {r1, r2,...., rn} se llama una SUBDIVISION de F.
La NORMA de la subdivisión que generalmente se indica con , es la longitud de la diagonal del mayor rectángulo de la subdivisión .Supongamos que z = f(x,y) es una función definida para todo (x,y) de la región F.
La definición para la INTEGRAL DOBLE de f SOBRE LA REGION F es análoga a la definición de integrales para funciones de una variable. Elegimos un punto arbitrario en cada uno de los rectángulos de la subdivisión , designando las coordenadas del punto en el rectángulo ri con (i,,i). Ahora formamos la suma: f(1, 1). A(r1) +f(2, 2). A(r2) + ...... + f(n, n). A(rn) en forma general (1)
Esta suma es una aproximación a la integral doble que definiremos; y se denomina “SUMA INTEGRAL”.
Las sumas tales como (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier Norma positiva y con el iésimo punto (i, i) elegido en forma arbitraria en el rectángulo ri.

DEFINICION
Un número L es el límite de las sumas del tipo (1)Si dado un > 0 ; > 0 / para toda subdivisión con < y para todas las elecciones posibles de los puntos (i, i) en los rectángulos ri. Puede demostrarse que si el número L existe entonces debe ser único.
DEFINICION
Si f está definida en una región F y el número L, definido anteriormente, existe, decimos que f es INTEGRABLE SOBRE F, y escribimos : F f(x,y). dA
A estáexpresión la llamaremos también INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE F. La integral doble tiene una interpretación geométrica como volumen de un sólido. Efectivamente cada término de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base (ri) y altura h = f(i,i).
Siendo z= f(x,y) una función continua en el dominio cerrado representado por la REGION F, la sumatoria (1) tiene un límite sila diagonal máxima de ri tiende a cero con n tendiendo a infinito. Siendo este límite siempre el mismo, cualquiera sea el modo de la división del dominio de los elementos ri, y la selección del punto de coordenadas (i, i) en los dominios parciales ri.
Este límite se llama integral doble de la función f(x,y) sobre F y si f(x,y) 0, la integral doble es igual al volumen del cuerpo limitado por la...