las granjas de patos

Problemas del tema 5
1. Se sabe que el di´ametro de las pi˜
nas de una determinada especie de con´ıferas es una cantidad aleatoria que
supondremos con distribuci´on normal. Para determinar si en cierto bosque los cambios clim´aticos est´an
modificando gen´eticamente a dichas especies se decide tomar una muestra de 20 pi˜
nas, denomin´andose
X1 , . . . , X20 a sus di´ametros. Se obtiene una mediamuestral de 8.1 cm y una varianza muestral de 3.
a) Hallar estimadores puntuales de la media y la desviaci´on t´ıpica poblacional. Calcular de forma
aproximada la probabilidad de que el di´ametro de una pi˜
na escogida al azar est´e por encima de 8cm.
b) Hallar un valor que acote superiormente el di´ametro medio de las pi˜
nas con una confianza del 95%.
c) Hallar un intervalo de confianza para lavarianza poblacional al nivel de confianza del 99%.
2. Al llevar a cabo un estudio comparativo sobre los niveles de plomo en el aire (en µg/kg) en dos zonas,
una rural y otra urbana. El objetivo no era determinar qu´e zona estaba m´as contaminada, sino en
cu´al de ellas la distribuci´on de este metal en el aire era m´as homog´enea. Tras tomar 13 mediciones en
cada zona se han obtenido lossiguientes valores de las medias y varianzas muestrales: x
¯r = 0.325µg/kg,
¯u = 1.423µg/kg, s22 = 1.646 × 10−2 µg/kg. Supuesta la normalidad de
s2r = 2.842 × 10−2 µg/kg y x
la variable, utiliza un intervalo de confianza al 95% para decidir si la distribuci´on de plomo en ambas
zonas presentaba o no la misma homogeneidad. Si la respuesta es negativa, ¿en qu´e zona se reparte m´as
irregularmente losniveles de plomo?
3. En un laboratorio se estudia la reacci´on de ciertos microorganismos a un determinado compuesto qu´ımico.
Para ello se dispone de 12 placas de Petri de las cuales se realizan dos observaciones, una anterior y otra
posterior a la aplicaci´on del compuesto a todas las placas. Los resultados de los dos recuentos del n´
umero
de colonias en cada placa son los siguientes:
PlacaObservaci´on 1
Observaci´on 2

1
221
323

2
141
202

3
63
80

4
249
198

5
292
323

6
79
97

7
161
181

8
397
416

9
118
139

10
93
112

11
94
118

12
163
161

Supuesta cierta la hip´otesis de normalidad, construye un intervalo de confianza al 99% para la diferencia
del n´
umero medio de colonias por placa antes y despu´es de la aplicaci´on de la sustancia. ¿Con este
intervalo puedes asegurar que hubodiferencias tras la aplicaci´on de la sustancia?
4. Para estudiar el efecto de las aguas residuales de las alcantarillas que afluyen a un lago, se toman medidas
de la concentraci´on de nitrato en el agua. Para ello se toman muestras de agua en un punto del lago
pr´oximo a la zona de vertido de aguas residuales y en otro punto alejado de dicha zona de vertido donde
no llegan los vertidos. Los datosobtenidos son los siguientes (las unidades son microgramos de nitrato
por litro de agua)
cercano vertido
lejano vertido

223.97
162.17

208.42
171.84

255.51
150.44

231.70
215.33

169.33
165.64

185.47
194.95

165.79
148.99

Supuesta que la variable de inter´es se distribuye normalmente, ¿podemos decir que hay diferencias en el
nivel de nitrato en las dos zonas del lago?
5. La concentraci´on de unasustancia t´oxica en las aguas de un lago es una variable aleatoria con distribuci´on
normal con media desconocida y desviaci´on t´ıpica 3 ppm. Se toman 15 muestras de agua en distintos
puntos del lago, midi´endose la concentraci´on de la sustancia referida en cada muestra. Se obtiene una
media muestral de 12.33 ppm y una desviaci´on t´ıpica muestral de 2.75 ppm.
a) Hallar un estimador puntual dela media poblacional. ¿Cu´al es la probabilidad, aproximadamente,
de que la concentraci´on de la sustancia t´oxica en una muestra supere el nivel permitido de 10 ppm?
b) Hallar un intervalo de confianza para la concentraci´on media de dicha sustancia al nivel de confianza
del 99%.
6. De dos variables X1 y X2 se supone que se distribuyen normalmente con varianza com´
un σ 2 . Se seleccionaron dos...