Las hormigas

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO

Modelación de sistemas físicos.

2do Proyecto

Diseño para terremotos

Nombre Del Profesor
Aaron Vicente Berrocal Arellano

Trabajo Hecho Por:
Pablo Francisco Rodríguez Morales

29/Junio/10

DE QUE SE TRATA EL PROYECTO
Comprobación de que es más resistente al movimiento horizontal, si un cuerpo formado por tres masas sobrepuestas o uno del mismotamaño construido de un solo bloque.
El modelado es de un edificio de tres pisos, para resistir un terremoto, considerando que cada piso tiene una masa fija, y los pisos están acoplados como resortes que obedecen a la ley de Hooke.
INTRODUCCION.

MODELO DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE LOS PISOS DE UN EDIFICIO

En este proyecto trataremos de modelar el efecto de un terremoto sobre un edificio devarios pisos, para después resolver e interpretar las matemáticas. Supondremos que el i-ésimo piso de un edificio tiene más mi, y que los adyacentes están unidos por un conector elástico, cuya acción se parece a la de un resorte. En el caso normal, los elementos estructurales de los grandes edificios son de acero, que es un material muy elástico. Cada unión suministra una fuerza de restitucióncuando los pisos se desplazan entre sí. Supondremos que es válida la ley de Hooke cuando la constante de proporcionalidad es ki, entre los pisos i-ésimo e (i+1)-ésimo. Esto es, que la fuerza de restitución entre esos dos pisos es
F=ki(xi+1-xi),
donde xi representa el desplazamiento horizontal del i-ésimo piso, respecto del equilibrio, y xi+1-xi es el desplazamiento del (i+1)-ésimo, en relacióncon el i-ésimo piso. También supondremos que hay una reacción similar entre el primer piso y suelo, y que su constante de proporcionalidad es k0. La Fig. 1 muestra un modelo de edificio con n pisos, mientras que la Fig. 2 indica las fuerzas que actúan sobre el i-ésimo piso. Es posible aplicar la segunda ley de Newton del movimiento, F=ma, a cada sección del edificio, para llegar al siguientesistema de ecuaciones diferenciales lineales:
m1x1´´=-k0x1+k1(x2-x1)
m2x2´´=-k1(x2-x1)+k2(x3-x2)
.
.
.
mnxn´´=-kn-1(xn-xn-1)

Desarrollo del proyecto
* X (t), sustituido con un vector x del desplazamiento para cada planta
* Introducir una matriz de rigidez K y M la matriz de masas
* NxN para un edificio de N-historias
* Simétrica
* Positivo definido (K - edificio no delibre flotación, M - cada planta tiene una masa positiva)
* Cuando se mueve una planta lateralmente con respecto al suelo debajo de ella, las columnas se doblan, creando fuerzas de "corte" lateral
* F = kx
* K es la rigidez constante de fuerza cortante y x es el desplazamiento
 

* Masa 1 distancia desplazada x1 con respecto al suelo
* Las fuerzas de las columnasdebajo de la masa
* Las fuerzas de las columnas por encima de la masa
* fuerzas inerciales
* Aceleración de la masa con respecto al suelo, más la aceleración del suelo
 

* Finalmente tenemos 3 ecuaciones diferenciales para un edificio de 3 plantas.

MARCO TEORICO

Ley de elasticidad de Hooke
En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmenteformulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

Siendo δ el alargamiento, L la longitud original, E: módulo de Young,
Ley de Hooke para los resortes
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte,donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

Donde k se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencial elástica Uk asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la k antes definida...