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Analisis de Series de Tiempo

Teoremas de L´ımite
¿Cu´
ales son los teoremas de l´ımite? Son leyes que describen el comportamiento
de sumas de muchas variables aleatorias. Los m´as utilizados son la Ley de los
Grandes N´
umeros y Teorema Central del L´ımite. De hecho, se trata de dos conjuntos de teoremas, en lugar de s´olo dos teoremas (diferentes supuestos sobre
momentos condicionales, ladependencia y la forma de resumir puede conducir
a declaraciones similares). La forma m´as gen´erica es:
Si xi una secuencia de id´enticamente distribuidas (iid) variables aleatorias independientes con Exi = µ, V ar(xi ) = σ 2 entonces
n

1.Ley de los grandes n´
umeros(LLN )− n1

xi → µ(EnL2 ,como una probabilii=1

dad)
n

√

2. Los teoremas de l´ımite central (TLC)-

n 1
σ (n

xi − µ) =⇒ N (0, 1)
i=1Enunciamos ´estos asumiendo independencia. En series de tiempo, por lo
general no tenemos independencia. Exploremos donde se pudo haber utilizado
la independencia.
En primer lugar, vamos a empezar por la prueba m´as simple de LLN:

1
n

E

2

n

xi − µ

1
n

= V ar

i=1

1
n2

= V ar

=

1
n2

n

xi

n

xi

(2)

i=1

n

V ar(xi )

(3)

i=1

nσ 2
n2
Se utiliz´
o la independencia para ir a partirde (2) a (3).
Sin independencia, tendr´ıamos
=

V ar

=

1
n2

n

xi
i=1

=

1
n2

n

n

cov(xi , yi )
i=1 j=1

1
(nγ0 + 2(n − 1)γ1 2(n − 2)γ2 + ...)
n2
1
2
n

(1)

i=1

n

γk 1 −
k=1

1

k
n

+ γ0

(4)

Analisis de Series de Tiempo

∞

|γj | ≤ ∞,entonces

Si asumimos sumabilidad absoluta, i.e.
j=−∞

1
n→∞ n

n

γk 1 −

lim

k=1

k
n

+ γ0 = 0

T´ıtulo 1. Si xt es una serie temporal d´ebilmenteestacionario (con media
µ) con absolutamente sumable auto-covarianzas luego una ley de los grandes
n´
umeros sostiene (en probabilidad y en L2 ).
Observaci´
on 2. Estacionalidad no es suficiente. Asume z ∼ N (0, σ 2 ). Supongamos xt = z∀t. Entonces cov(xt , xs ) = σ 2 ∀t , s, por lo que no tienen sumabilidad
absoluta, y claramente no tenemos un LLN para {xt } ya que promedio es igual
a z, que es alazar .
∞

∞

Observaci´
on 3. Para un MA, xt = c(L)et , tenemos j=1 |ej | implica −∞ |γj |
La demostraci´
on es sencilla. La u
´ltima vez que puso de manifiesto que:
∞

γk =

cj cj+k
j=0

Entonces

Desde la nueva prueba de la LLN uno puede adivinar que la varianza en un
teorema del l´ımite central debe cambiar. Recuerde que deseamos normalizar la
suma de tal manera que la varianza l´ımite ser´ıa1.

J se llama la varianza de largo plazo y es una medida correcta escala.
Hay muchos teoremas del l´ımite central para las observaciones en serie correlacionados. El m´
as simple es para MA (∞).
∞
Teorema 4. Asumir yt = µ + j=0 cj et−j donde et es ruido blanco independiente y

∞
j=0

|cj | < ∞.
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Analisis de Series de Tiempo

Por otra versi´
on tenemos que introducir la siguiente notaci´on.
•SeaIt la informaci´
on disponible en el momento t, es decir, es el sigmaalgebra generada por{yi }tj=−∞
´
• Sea es la revisi´
on de la previsi´on sobre yt como la nueva informaci´on llega
en el momento t - k.
Definici´
on 5. Un proceso estrictamente estacionaria yt es erg´odica si por
cualquier t, k, l, y cualquier funci´on acotada, g y h,

Teorema 6. (CLT de Gordon). Supongamos que tenemos unaestricta
estacionario y erg´
odico serie yt con Ey2t < ∞ satisfacer:
1/2
2 )
1. j (ETj,k
<∞
2.E [yt |It−j ] −→ 0 en L2
Entonces

Donde  = γ0 + 2

∞
k=1

γk es una variaci´on a largo plazo.
∞

Observaci´
on 4. Notese, esto yt = j=0 τt,j . La condici´on 1 est´a destinado
a hacer que la dependencia entre observaciones a distancia para disminuir a 0.
Condici´
on 1 se puede comprobar (ver un ejemplo m´asabajo). No estoy seguro de
c´
omo la ergodicidad se puede comprobar f´acilmente. Condici´on 2 est´a dirigido
a la correcto centrado, en particular, implica que E[yt ] = 0.
Ejemplo8.

Podemos verificar de la condici´on 2. Tenemos E [yt |It−k ] − E [yt |It−k−1 ] =
2
ρk et−k y E τt,j
= ρ2k σ 2 por lo que la condici´on 2 es satisfecho. En t´erminos
m´
as generales, si el MA tiene coeficientes...