lenguaje

Vectores en L2 y UnEn la sección 1.5 se definieron los vectores columna y vectores renglón como conjuntos
ordenados de n números reales o escalares. En el siguiente capítulo se definirán otros
tipos de conjuntos de vectores, llamados espacios vectoriales.
El estudio de espacios vectoriales arbitrarios es, en principio, un tema abstracto. Por
esto es útil poder contar con un grupo de vectoresque se pueden visualizar fácilmente
para usarlos como ejemplos.
En este capítulo se discutirán las propiedades básicas de los vectores en el plano xy
y en el espacio real de tres dimensiones. Los estudiantes que conocen el cálculo de varias
variables ya habrán visto este material. En ese caso, se podrá cubrir rápidamente, como
un repaso. Para los que no, el estudio de este capítuloproporcionará ejemplos que harán
mucho más comprensible el material de los capítulos 4 y 5.

3.1 VECTORES EN EL PLANO
Como se definió en la sección 1.5, L2 es el conjunto de vectores (x1, x2) con x1 y x2
números reales. Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma (x, y)
es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en R2, y
viceversa. Así, lostérminos "el plano" y"R2" con frecuencia son intercambiables. Sin
embargo, para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza, velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector no como un punto sino
como una entidad que tiene `longitud" y "dirección". Ahora se verá cómo se hace esto.
Segmento de Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigidode P a
recta dirigido Q, denotado por P b, es el segmento de recta que _ de P a Q (vea la figura 3.1 a). Observe
que los segmentos de recta dirigidos PQ y QP son diferentes puesto que tienen
direcciones opuestas (figura 3.1 b).

228 Capítulo 3 Vectores en l ` y U'
y

0

a)

PO

h)

QF

Figura 3 . 1 Los segmentos de recta dirigidos J y QP apuntan en direcciones opuestas

Puntoinicial El punto P en el segmento de recta dirigido P se llama punto inicial del segmento
Punto terminal y el punto U se llama punto terminal . Las dos propiedades más importantes de un
segmento de recta dirigido son su magnitud (longitud) y su dirección. Si dos segmentos
Segmentos de de recta dirigidos P y R tienen la misma magnitud y dirección, se dice que son
recta dirigidos equivalentessin importar en dónde se localizan respecto al origen. Los segmentos de
equivalentes
recta dirigidos en la figura 3.2 son todos equivalentes.
y

0

Figura 3 .2 Un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes

DEFINICIÓN 1 Definición geométrica de un vector El conjunto de todos los segmentos de recta
dirigidos equivalentes aun segmento de recta dirigido dado se llama vector .Cualquier
segmento de recta en ese conjunto se llama una representación del vector.

Observación.
Los segmentos de recta dirigidos en la figura 3.2 son todos representaciones del mismo vector.
De la definición 1 se ve que un vector dado v se puede representar de muchas
maneras diferentes . Sea Pb una representación de Y. Entonces , sin cambiar magnitud
ni dirección , se puede mover P en formaparalela de manera que su punto inicial se

3.1 Vectores en el plano 229

y

0

L

lR

^ x

Figura 3.3 Se puede mover P b para obtener un segmento de rea dirigido equivalente
con su punto inicial en el origen. Observe que OR y PO son paralelos y tienen
la misma longitud

traslada al origen . Después se obtiene el segmento de recta dirigido 01, que es otra
representación delvector v (vea la figura 3 .3). Ahora suponga que la R tiene las
coordenadas cartesianas ( a, b). Entonces se puede describir el segmento de recta dirigido
Oí? por las coordenadas (u, b). Esto es , 01 es el segmento de recta dirigido con punto
inicial (0 , 0) y punto terminal ( a, b). Como una representación de un vector es tan buena
como cualquier otra, se puede escribir el vector v como (a,...