LENGUAJE

Lenguaje Lógica Proposicional
María Manzano
Universidad de Salamanca

Curso 2009- 2010

María Manzano (Universidad de Salamanca)

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1

Introducción

2

Gramática

3

Forma lógica

4

Formalización

5

El mundo de Tarski

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Introducción
Objetivos

I
adquisición de un lenguaje arti…cial
Iformalización enunciados del español
Características
1.
uso declarativo del lenguaje
2.
preciso, carente por completo de ambigüedad
3.
de conectores
4.
LP
lógica proposicional
fórmulas atómicas
sin cuanti…cadores
5.
5.
6.

conectores como funciones veritativas (booleanos)
falso signi…ca no verdadero
bivalente

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¿Cómo se construye unlenguaje formal?
Alfabeto

El alfabeto contiene
1.
conectores: :, _, ^, !, $
2.
letras proposicionales: p, q, r , s, ..., p1 , p2 , ...
3.
paréntesis.
Fórmulas: Se construyen mediante reglas

De…nition
FORM(L0 ) es el menor conjunto que se puede generar mediante
Paso Básico: F1. Las letras proposicionales son fórmulas.
Pasos Inductivos: F2. Si A y B son fórmulas, también lo son: :A,
(A ^ B ), (A _ B ),(A ! B ), (A $ B ).

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Example
¿Es una fórmula (((p ^ :p ) _ r ) ! r )?
VERDADERO
La demostración es como sigue:
1.
2
3.
4.
5.
6.

p 2 FORM
F1
r 2 FORM
F1
:p 2 FORM
F 2 en 1
F 2 en 1 y 3
(p ^ :p ) 2 FORM
F 2 en 2 y 4
((p ^ :p ) _ r ) 2 FORM
F 2 en 5 y 2
(((p ^ :p ) _ r ) ! r ) 2 FORM

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Forma lógica
Las fórmulas de nuestro lenguaje L0 que no son atómicas tienen cinco
formas lógicas posibles: negaciones, conjunciones, disyunciones,
condicionales y bicondicionales.
Forma lógica
:A
(A ^ B )
(A _ B )
(A ! B )
(A $ B )

Denominación
negación
conjunción
disyunción
condicional
bicondicional

En un condicional

(A ! B )
la fórmula A es el antecedente y B elconsecuente.
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Ejemplos
¿Son fórmulas todas las sucesiones …nitas de signos del alfabeto?

Solution
Por supuesto que no, debe ser conforme a las reglas F1 y F2.

Example
Sin alterar el orden de los signos, transformad las sucesiones de signos
siguientes en fórmulas cuya forma lógica sea un condicional, utilizando
paréntesiscuando sea necesario.
1. p ! r $ q
2. p _ r ! q _ r

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(p ! (r $ q ))
((p _ r ) ! (q _ r ))

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Subfórmulas
Mediante árbol genealógico

Example
p

q

(p _ q )

r

p
j
:p

((p _ q ) ! r )

q
j
:q

(:p ^ :q )

(((p _ q ) ! r ) $ (:p ^ :q ))

El conjunto de las subfórmulas es

(((p _ q ) ! r ) $ (:p ^ :q )), ((p _ q ) ! r ),
(:p ^ :q), (p _ q ), r , :p, :q, p, q
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Convenciones sobre notación
Abreviaturas
usaremos los signos ? y > para “lo falso” y “lo verdadero”:

? : = p ^ :p
> : = p _ :p
Reglas eliminación de paréntesis
1
2
3
4

paréntesis externos pueden suprimirse
conyuntor y disyuntor unen más que condicionador y bicondicionador
conjunción o disyuncióniterada puede escribirse sin paréntesis
otros signos

:

^
&

_
g

!

$
=

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Condicional
Example
Cartas
LEY “Si hay una vocal por una cara, por la otra hay un número par”.
¿A cuántas cartas tengo que darle la vuelta para estar
completamente segura de que la ley se cumple?

2

1

A

B

Figura: Las cartas “sobre la mesa”
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Formalización I

Al formalizar pretendemos:
1

claves de formalización de enunciados atómicos: asignarles letras
p, q, r ,

2

fórmula del lenguaje formal cuya retrotraducción al castellano, usando
las mismas claves de formalización, sea verdadera en los mismos casos
que la original.
En algunos casos se quiere también:

3...