Ley de gauss para el campo magnetico

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Introducción

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemáticomás grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Gran científico y matemático destaco que ayudo al entendimiento de las matemáticas, a lo largo deldocumento nos centraremos en su importante ayuda en materia de electricidad y magnetismo, gracias a la ley de gauss un gran numero de ingenieros y hombres de ciencia han podido dar soluciones a diversos problemas y dar nuevos instrumentos para facilitar la vida humana, sin duda Gauss a ayudado en diversas ramas de las matemáticas ente texto solo plasmaremos una de las muchas herramientas que Gauss dejoen materia de matemática y física.

Ley de Gauss para el campo magnético

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en elsentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.
En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para elcampo magnético quedaría como

donde ρm densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday.

Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribución de corriente de volumen
La ley de Biot-Savart indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias.

La ley de Biot-Savart indica el campo magnéticocreado por corrientes eléctricas estacionarias.

y, operando se llega a que puede escribirse como
        
de donde es inmediato que

esto es, el campo magnético es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para el campo magnético.
Físicamente, por analogía con el campo eléctrico, podemos decir que estaley expresa que el campo magnético carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las cargas magnéticas (conocidas como monopolos).
Realmente, la ecuación sólo la hemos demostrado para el campo creado por corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es válida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o dinámicas. Es la experiencia laque indica que no existen los monopolos.

Demostración

Para demostrar la ley de Gauss para el campo magnético partiendo de la ley de Biot y Savart, hacemos uso de la identidad

lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como

y aplicando la identidad vectorial

podemos separar el campo en dos integrales

La segunda integral se anula porque es función de , no de . En laprimera se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre y el otro sobre , resultando finalmente

Forma integral
La ley de Gauss para el campo magnético equivale a decir que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo,

La demostración es inmediata a partir de la forma diferencial, sin más que aplicar el teorema de Gauss...
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