Ley De Gauss

APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

P.10 En los problemas en los que se quiera utilizar la Ley de Gauss, lo primero es estudiar qué simetría tiene el campo eléctrico [pic]: esférica (si radialmente sale de, o apunta hacia, un único punto), cilíndrica, ... A continuación se aplica la Ley de Gauss eligiendo con ``ojo'' como superficie de integración S una superficie cerrada que tenga una simetría lomás parecida a la del campo eléctrico: así [pic]tendrá la misma dirección que el vector [pic], [pic], y además [pic]tendrá el mismo valor en todos los puntos de dicha superficie con lo que [pic]. Notar que no siempre se va a poder escoger una superficie cerrada que cumpla esta propiedad para todos sus puntos. Sin embargo, si el campo eléctrico tiene la suficiente simetría, sí que se va a poderelegir una superficie cerrada tal que la propiedad de arriba se cumpla para muchos de sus puntos, mientras que para el resto de los puntos de la superficie sobre la que integramos se obtenga que [pic]y estos últimos puntos no den ninguna contribución a [pic].

En nuestro caso, puesto que la distribución de carga es uniforme, la dirección del campo eléctrico es radial y por lo tanto la superficiemás útil para aplicar sobre ella el teorema de Gauss es una esfera

[pic]


con r el radio de la esfera. Lo único que queda por resolver es la carga que queda dentro de la superficie cerrada sobre la que hemos integrado:
• Si la esfera sobre la que estamos integrando tiene un radio menor que [pic], no contiene nada da carga.
• Si la esfera de radio r contiene la corteza interior perono llega a la corteza exterior,[pic], entonces dentro de la superficie cerrada de integración hay una carga [pic].
• Si la superficie [pic]cerrada obtiene a las dos cortezas,[pic], entonces la carga en su interior es [pic].

|[pic] |(18) |




P.11 De forma similar alproblema anterior, la distribución uniforme de carga hace que [pic]lleve dirección radial y perpendicular al eje del cilindro: a) [pic]vale lo mismo en módulo para todos los puntos que estén a la misma distancia del eje del cilindro, y b) por tratarse de un cilindro de longitud infinita, [pic]no tiene componente paralela al eje del cilindro. Una manera de ver esta última propiedad es darse cuenta quepuesto que el cilindro es infinito y su carga está distribuida uniformemente, tenemos tanta carga a lo largo del eje a la izquierda de un punto cualquiera como a su derecha; y por lo tanto, la componente longitudinal a lo largo del eje creada por la parte izquierda se compensa con la creada por la parte derecha. Otra manera es a través de un argumento que se discutirá en el siguiente problema.La superficie cerrada de integración es en este caso un cilindro de radio r, concéntrico con el cilindro cargado, longitud L y cerrado por dos tapas perpendiculares al eje del cilindro. Ya que la dirección de [pic], al ser radial, es perpendicular al vector [pic]de las dos tapas, entonces

[pic]


Como en el problema anterior, para terminar de aplicar la Ley de Gauss sólo queda por calcularla carga que queda dentro de este cilindro cerrado con tapas: para [pic]no hay carga dentro ya que la superficie cargada más cercana está fuera; para [pic], una parte de longitud lateral L de la superficie cargada interior queda dentro del cilindro con tapas sobre el que estamos integrando, luego [pic]; y por último, para [pic]la superficie de integración contiene una parte de longitud lateral Ltanto de la superficie cargada interior como de la exterior, luego [pic]. Recordar que la superficie lateral de un cilindro de radio R y longitud L es [pic]. Con todo esto tenemos
|[pic] |(19) |


Y la relación entre las densidades de carga de las dos superficies para que el...