LEYES DE LOS EXPONENTES

Leyes de los Exponentes

Objetivos
Esta lección presenta los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:
Entender cada una de las leyes de los exponentes.
Aplicar las leyes de los exponentes para simplificar expresiones.

Definición: an=a×a×a×...×a (a multiplicado n veces)
La letra a se llama la base, y a la letra n se le llama la potencia o exponente. La expresión an se lee “aelevada a la n”.
Veamos algunos ejemplos:
23=2×2×2                         (base: 2   exponente: 3)
57=5×5×5×5×5×5×5            (base: 5   exponente: 7)
y6=y×y×y×y×y×y               (base: y   exponente: 6)
Oprime el botón siguiente para practicar la simplificación de expresiones con exponentes.

Las leyes de los exponentes
A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyesde los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.

Ley #1: am×an=am+n

Ilustración #1: 64 ×62

64=6×6×6×6

62=6×6

64 ×62=(6×6×6×6)(6×6)=(6×6×6×6×6×6)=66
Por tanto, 64 ×62=64+2=66

Ilustración #2: a3 ×a5

a3=a×a×a
a5=a×a×a×a×a.
a3×a5=(a×a×a)(a×a×a×a×a)=(a×a×a×a×a×a×a×a)=a8
Por tanto, a3 ×a5=a3+5=a8

Ejemplo: Halle elvalor de c6 ×c7
Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes:
c6 ×c7=c6+7=c13
Ley #2: (a×b)n=an×bn

Ilustración #1: (4×5)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(4×5)3=(4×5)×(4×5)×(4×5)

Ahora, agrupamos términos semejantes:

=(4×4×4)×(5×5×5)

Finalmente, por ladefinición de exponente:

=43×53 

Ilustración #2: (c×d)4

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(c×d)4=(c×d)×(c×d)×(c×d)×(c×d)

Ahora, agrupamos términos semejantes:

=(c×c×c×c)×(d×d×d×d)

Finalmente, por la definición de exponente:

=c4×d4=c4d4 

Ejemplo: Halla el valor de (2a)5.
Solución: Por la Ley #2:

(2a)5=(2×a)5=25×a5=32a5
Ley#3: (ab)n=anbn
Ilustración #1: (75)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(75)3=(75)×(75)×(75)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=7×7×75×5×5

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=7353

Ilustración #2: (pq)5

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:(pq)5=(pq)×(pq)×(pq)×(pq)×(pq)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=p×p×p×p×pq×q×q×q×q

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=p5q5

Ejemplo: Halle el valor de (3xy)4. 
Solución: Por la Ley #3: 

(3xy)4=(3×xy)4=34×x4y4=81x4y4 
Ley #4: (an)m=an×m
Ilustración #1: (32)5

Expandemos 32:

(32)5=(3×3)5

Entonces,expandemos (3×3)5

(3×3)5=(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)
=3×3×3×3×3×3×3×3×3×3

Aplicando la definición de exponente:

=310

Ilustración #2: (d4)2

Expandemos d4:

(d4)2=(d×d×d×d)2

Entonces, expandemos (d×d×d×d)2

(d×d×d×d)2=(d×d×d×d)×(d×d×d×d)
=d×d×d×d×d×d×d×d

Aplicando la definición de exponente:

=d8

Ejemplo: Halle el valor de (5g4)3.
Solución: Por la Ley #4:(5g4)3=53×(g4)3=125×g4×3=125g12
Ley #5: aman=am-n, a≠0
Ilustración #1: 3632

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

3632=3×3×3×3×3×33×3

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

3×3×3×3×3×33×3=3×3×3×31=3×3×3×3

Finalmente, por la definición de exponente:

3×3×3×3=34

Ilustración#2: r9r8

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

r9r8=r×r×r×r×r×r×r×r×rr×r×r×r×r×r×r×r

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

r×r×r×r×r×r×r×r×rr×r×r×r×r×r×r×r=r1=r

Ejemplo: Halle el valor de 8c154c3
Solución: Primero simplificamos los enteros. Por la propiedad...