Libro algebra 1

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Departamento de Matem´tica y Ciencia de la Computaci´n a o

´ ALGEBRA I
´ PRIMERA VERSION
En revisi´n o

RICARDO SANTANDER BAEZA

2008

1

A mi adorada esposa Carmen, y a mis amados hijos Francisco, Ricarda, Fernando y Pablo

2

Prefacio
La matem´tica viene impresa en el cerebro y, a s´lo se hace carne cuando palpita en elcoraz´n. o o La idea que me motiva a escribir estas notas esta sustentada en la firme creencia que, “una condici´n neceo saria y suficiente para que en alg´n instante se produzca aprendizaje en el aula, es que la intersecci´n entre u o los deseos de ense˜ar del que ense˜a, y los deseos de aprender del que aprende, sea no vac´ n n ıa.” Lo anterior es con seguridad una muy dif´ tarea, no obstante poseola esperanza que las ideas vertidas en ıcil este libro contribuir´n, a generar la motivaci´n en los actores para que ingresen a esa ”intersecci´n.” a o o Con esta motivaci´n, espero conseguir al menos alguno de los siguientes objetivos: o ´ Contribuir al acrisolamiento de las ideas algebraicas b´sicas en los Alumnos de un primer curso de Algebra. a Servir de hilo conductor para que los Alumnosrecorran las primeras ideas algebraicas, hasta llegar a las bases del algebra Lineal, y puedan posteriormente reflexionar, respecto de las ilimitadas aplicaciones que esta disciplina posee en sus respectivas especialidades. Generar un ambiente de di´logo permanente, entre el Profesor y el Alumno del cual se concluya al menos a que, “lo abstracto deja de serlo cuando se hace tangible en la mente, y seplasma a trav´s de la mano.” e Motivar al Alumno para transformarse en Estudiante y as´ profundizar d´ a d´ cada uno de los t´picos ı ıa ıa, o discutidos en clases en conjunto con su Profesor, en la b´squeda permanente del equilibrio entre la teor´ y u ıa la pr´ctica. a Motivar al Profesor, para que complemente estas ideas, d´ndoles la contundencia y versatilidad necesaria a para mantener vivo enel Alumno su inter´s por la asignatura. e Los contenidos de este libro est´n esencialmente dedicados a iniciar al lector: En primer lugar en las estruca turas b´sicas que cubren de apariencia finita a los procesos infinitos, tales como los m´todos inductivos, la a e generaci´n de listas progresivas. En segundo lugar en las herramientas que permiten clasificar situaciones o y por ende apuntan hacia untrabajo eficiente, y en tercer lugar, examinar las forma de estructuraci´n que o permiten ordenar de forma eficiente la informaci´n, tales como grupos, anillos y cuerpos. o Deseo enfatizar que desde hoy, estas notas estar´n en constante revisi´n con el unico objetivo de mejorar y a o ´ as´ llegar a ser alguna vez, un razonable material de apoyo, para la ense˜anza y aprendizaje de esta disciplina. ın ´ Este trabajo se realiz´ en el marco del proyecto de docencia “Versi´n final del texto gu´ de Algebra o o ıa para Ingenier´ Civil y Ciencia” con el apoyo y financiamiento de la Vicerrector´ Acad´mica de la ıa ıa e Universidad de Santiago de Chile. Finalmente deseo agradecer las observaciones hechas por mis colegas, quienes han compartido conmigo la ´ Coordinaci´n del curso de Algebra paraIngenier´ Civil en todas sus especialidades, por largo tiempo, en o ıa particular al Profesor Luis Arancibia Morales, quien ha hecho importantes observaciones acerca de los contenidos de los primeros cap´ ıtulos de este libro.

UNIDAD 1

Bases Num´ricas y Polinomios e
1. Introducci´n o El capitulo, ”Bases num´ricas y Polinomios” est´ destinado a presentar contenidos y actividades que dee a ber´haber sido expuestos y discutidas, por los profesores y estudiantes en los correspondientes cursos de ıan Segundo, Tercero y Cuarto de su Ense˜anza Media, raz´n por la cual deseo abordar t´picos que permitan n o o al estudiante, dentro de lo posible y en directa proporci´n a su trabajo, fortalecer y mejorar su operatoria o b´sica. La herramienta escogida para el efecto son los polinomios, y la...