Libro Luis Zegarra Capitulo 9 -Polinomios

Capítulo *
Polinomios y Ecuaciones
*Þ"Þ Polinomios
Definición 1.

Sea : À ‚ Ä ‚ una función, se dice que :aBb es un polinomio en una variable, y
es de la forma
:aBb œ +!  +" B  +# B#  † † † †  +8 B8 œ !+3 B3
8

3œ!

donde 8 − ß +3 − ‚Þ
Los +3 se acostumbran a llamar coeficientes del polinomio, si +8 Á ! se dice que
el polinomio es de grado 8Þ
Nota. 1
Debemos agregar que no siempre lavariable de un polinomio es un número
complejo, pueden ser también entre otras: una matriz, una funcion, . . . . etc. que
obviamente requieren de otra definición, pero que, no trataremos en este texto.

*Þ#Þ Igualdad
Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á ! • ; aBb œ ! ,3 B3 con ,8 Á !
8

8

3œ!

3œ!

:aBb œ ; aBb Í +3 œ ,3 ß a 3 œ !ß "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8

Demostración.

:aBb  ; aBb œ ! Ð+3  ,3 Ñ B3 œ !ß aceptandola independencia lineal de
8

3œ!

{"ß Bß B# ß Þ Þ Þ Þ ß B8 × que dice: -!  -" B  -# B#  † † † †  -8 B8 œ ! Í

-! œ -" œ † † † † œ -8 œ ! entonces se tiene +3  ,3 œ ! Í +3 œ ,3
La parte +3 œ ,3 Ê :aBb œ ; aBb es inmediata.

*Þ$Þ Suma y Producto
Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á !
8

3œ!

• ; aBb œ ! ,3 B3 con ,7 Á ! supóngase que
7

3œ!

8   7ß entonces:

a:  ; baBb œ :aBb  ; aBb donde, gradoa: ; b Ÿ 8 o bien grado 0.
a: † ; baBb œ :aBb † ; aBb dondeß grado a: † ; b œ 7  8

Propiedad 1.

Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á !
8

• ; aBb œ ! ,3 B3 con ,7 Á ! tales que
7

:aBb † ; aBb œ !ß a B − ‚ß entonces :aBb œ ! ” ; aBb œ !
3œ!

3œ!

Demostración.

Si :aBb Á ! • ; aBb Á ! entonces tanto :aBb como ; aBb tienen grado, luego
también :aBb † ; aBb entonces a: † ; baBb no es el polinomio 0, loque contradice
la hipótesis.

Propiedad 2.

Sean :aBbß ; aBb y
Si :aBb † ; aBb œ :aBb † Demostración.

Como :aBb † ; aBb œ :aBb † por, propiedad 1. se implica ; aBb 
Definición 2.

Sean :aBb y ; aBb dos polinomios tales que ; aBb Á !Þ Se dice que ;aBb divide a
:aBb o que ; aBb es un factor de :aBb, si y solo si existe un polinomio =aBb tal que
:aBb œ =aBb † ; aBb.

Como ; aBb Á ! y :aBb œ =aBb † ; aBb Í
Ejemplo 1.

:aBb
œ =aBb
; aBb

Los polinomios B#  B  " y B  " son factores del polinomio :aBb œ B$  "

pués
Š

"
#

:aBb œ B$  " œ aB  "baB#  B  "b note que en este caso también



È$
#

3‹es un factor de :aBbÞ

Observación 1.
Ladefinición 2 dá a lugar un gran número de factorizaciones importantes, una de
ellas es la del ejemplo 1, otras como por ejemplo son:
1) B8  +8 œ ÐB  +ÑaB8"  B8# +  † † † †  B +8#  +8" b
#Ñ B#8  +#8 œ aB8  +8 baB8  +8 b

$Ñ B)  +) œ aB  +baB  +baB#  +# baB%  +% b

%Ñ B%  " œ ŠB#  È# B  "‹ŠB#  È# B  "‹
Nota 2.
A los polinomios con coeficientes reales los llamaremos,polinomios reales.
Definición 3.
Un polinomio real se dice que es primo si y solo si no es posible factorizarlo en
polinomios reales.
Ejemplo 2.

:aBb œ B#  $B  % no es primo, en cambio ; aBb œ B#  " es primo.(Ud. puede

fácilmente comprobarlo).
Propiedad 3.

Sean :aBb y ; aBb dos polinomios, con ; aBb Á !ß entonces existen dos únicos

polinomios =aBb y Demostración.
Se deja propuesta.
Notas 3.

1) Es costumbre llamar a :aBb como el polinomio dividendo, a ; aBb como el
polinomio divisor, a =aBb el polinomio cuociente y a
2) Si en caso de ser ; aBb es exacta.

3) Si =aBb y ; aBb son sus factores.

4) De la propiedad 3, como ; aBb Á ! Ê

:aBb
œ =aBb 
; aBb
; aBb

*Þ$ Algoritmo de la División

:aBb
œ =aBb 
ß Ðgrado de :aBb   grado de ; aBbÑ
; aBb
; aBb

1. Se ordenan los términos de :aBb y ; aBb en orden decreciente de sus potencias.

2. Se divide el término de mayor potencia de :aBb por el término de mayor

potencia de...

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