libro

UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” 
 INGENIERIA MECÁNICA 
P.N.F. TRAYECTO I 
CÁTEDRA: MATEMÁTICA 

 

RAZONES AFINES 
GUÍA PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS  
1.)  Leer  cuidadosamente  el  problema  varias  veces  y  pensar  en  los  datos  y  en  las 
cantidades que se desea calcular. 
2.)  Hacer  un  croquis  o  esquema  apropiado  y  dar  nombre  a  las  variables y  a  las 
cantidades desconocidas. 
3.)  Escribir  los  hechos  conocidos  expresando  la  rapidez  de  variación  dadas  y  las 
desconocidas como  derivadas de las variables. 
4.) Encontrar una ecuación general que relaciones las variables. 
5.) Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo. 
6.) Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio 
desconocida. 
EJERCICIOS: 
1) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/s. 
Su  altura  sobre  el  suelo  t  segundo  después  está  por   
4,9
120 .  Calcular  el 
tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil?  
En el nivel del suelo S(t) = 0 
 
 
 
 
s (t ) = −4, 9t 2 + 1 ⇒ 20t ⇒

 

ds
dt

= v (t ) = − 9,8 t + 120 ⇒

ds
dt

= 0 ⇒ tmáx = 12, 24 seg

⇒ t = 2tmáx = 24, 5segv (t ) = − 120m / S ⇒ v (25) = −120 = 120 ( m ) ⇒
v
seg

 

h
⇒ S (12, 24) = − 4, 9 (12, 24) 2 + 120 (12, 24) → S (12, 24) = 734, 7 m
máx
1 
 http://www.damasorojas.com.ve                                                                                      
damasorojas8@gmail.com,damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com 
 

UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” 
 INGENIERIA MECÁNICA 
P.N.F. TRAYECTO I 
CÁTEDRA: MATEMÁTICA 

 

2)  La  corriente  (Ι),  en  un  circuito  eléctrico  está  dada  por  I =100
,  donde  (R)  es  la 
R

resistencia.  Calcular  la  tasa  de  cambio  o  variación  de  Ι    con  respecto  a  R  cuando  la 
resistencia es de 20. 
Ι = 100 R − 1 →

dI
dΙ
dΙ
100
100
1
= − 2 ⇒ R = 20 ⇒
= −
⇒
= −  
dR
dR
dR
400
4
R

 
3) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio, la base de 
la  escalera  se  desliza horizontalmente  a  razón  de  2  pies/s.  ¿Con  qué  rapidez  resbala  el 
otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo? 
 
 
 
 
 
 

dx
= 2 pies / S → V ′(t )
dt
dy
→ cambio de la altura del extremo sup erior Y = 12 pie
dt
dx
dy
dy
dx
dy
dx
x 2 + y 2 = 400 ⇒ 2 y
+ 2y
= 0 → 2y
= − 2x
⇒
=−
   
dt
dt
dt
dt
dt
dt                                           
x 2 = 400 − y 2 ⇒ x 2 = 400 − 144 → x = 16 → Pto (16,12)
16
8 pie
dy
dy
(2) →
=−
= − seg
12
3
dt
dt
4.) Suponga que el pulso de un individuo (en latidos/minutos) Q los t segundo de haber 
comenzado  a  correr  está  dado  por  p(t)  =  56  +  2t2  ‐  t  para  0  ≤  t  ≥  7.  Calcular  la  tasa  de 
variación o cambio de p(t) con respecto a t en (a) t = 2 ; (b) t =4 

dp ( t )
dp ( 2 )
= 4t −1 →
=7
dt
dt

dp ( 4 )
= 15
dt

 
2 

 
http://www.damasorojas.com.ve                                                                                      
damasorojas8@gmail.com,damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com 
 

UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” 
 INGENIERIA MECÁNICA 
P.N.F. TRAYECTO I 
CÁTEDRA: MATEMÁTICA 

 

5)  La  resistencia eléctrica  R  de  un  alambre  de  cobre  de  longitud  constante  es 
inversamente  proporcional  al  cuadrado  de  su  diámetro  d.  ¿Cuál  es  la  tasa  de  cambio  o 
variación de R con respecto a D? 
dR
dR
−2L
−2L
=
→
=
3
3
dD
dD
D
D
D
D o n d e L = C o n s ta n te d e p r o p o r c io n a lid a d  

R =

L

2

→

 ...